( 10,0 pontos) Uma resistência elétrica consiste em um fio maciço com 6 mm de diâmetro e 320 m de comprimento. O fio será submetido a uma tensão de 220 V e a uma corrente de 15 A . Com o objetivo de isolar eletricamente e de intensificar a troca de calor durante a operação, o fio será revestido com um material plástico cujas propriedades são as seguintes: \mathrm{k}_{\mathrm{rev}}=0,080 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho_{\mathrm{rev}}=1102 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\mathrm{prev}}=1400 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.K. O revestimento plástico está disponível em cinco espessuras padrões diferentes, 0,001 \mathrm{~m}, 0,002 \mathrm{~m}, 0,003 \mathrm{~m}, 0,004 \mathrm{~m} e 0,005 \mathrm{~m}. As propriedades do fio são as seguintes: \mathrm{k}_{\rho}=18 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \rho_{\rho}=7300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{p_{.} \rho}=500 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. O coeficiente de convecção é igual a \mathrm{h}_{\mathrm{ext}}=16,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a temperatura do ambiente externo igual a 28^{\circ} \mathrm{C}. Das cinco espessuras disponíveis para o revestimento plástico, qual é a mais apropriada para de intensificar a troca de calor entre o fio e o ar ambiente durante a operação? Justifique com cálculos.
Obs.: (Potência = Tensão × Corrente)

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pergunta: Das cinco espessuras de revestimento plástico disponíveis, qual é a mais apropriada para intensificar a troca de calor entre o fio e o ar ambiente durante a operação? Justificar com cálculos.
  • Dados fornecidos (vou listar todos com TeX):
    • Diâmetro do fio: \,6\\ \text{mm}\,\Rightarrow raio do fio \;r_{1}=0,003\\ \text{m}.
    • Comprimento do fio: \,L=320\\ \text{m}.
    • Tensão e corrente (potência elétrica dissipada): \,V=220\\ \text{V},\\ I=15\\ \text{A}. Potência: P=V\cdot I=220\cdot 15=3300\\ \text{W}.
    • Revestimento plástico: k_{\text{rev}}=0,080\\ \text{W/mK},\quad \rho_{\text{rev}}=1102\\ \text{kg/m}^3,\quad c_{p,\text{rev}}=1400\\ \text{J/kgK}.Espessuras disponíveis: \,t\in\{0,001;0,002;0,003;0,004;0,005\}\\ \text{m}.
    • Propriedades do fio (metal): k_{\rho}=18\\ \text{W/mK},\quad \rho_{\rho}=7300\\ \text{kg/m}^3,\quad c_{p,\rho}=500\\ \text{J/kgK}.
    • Convecção externa: \,h_{\text{ext}}=16,0\\ \text{W/m}^2\text{K}.
    • Temperatura ambiente: \,T_{\infty}=28^\circ\text{C}.
Observação: a missão é comparar as espessuras e escolher a que “intensifica a troca de calor”. Vou interpretar isso como a que, sob operação (potência fixa P), resulta na menor diferença de temperatura entre o fio (superfície interna relevante) e o ambiente — ou seja, a menor resistência térmica total entre o gerador (fio) e o ar. Abaixo eu explico e calculo passo a passo.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Ideia física: na situação de regime estacionário a potência elétrica dissipada P é removida para o ambiente por condução através do revestimento e convecção na superfície externa. Essas duas “dificuldades” para o calor agir em série formam resistências térmicas em série: resistência de condução do casulo plástico e resistência de convecção do ar. O fluxo de calor no estado estacionário satisfaz
    P=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
    onde \Delta T=T_{\text{fio (referência)}}-T_{\infty}ê e
    R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}.
    Quanto menor R_{\text{total}}, menor será \Delta T para dissipar a mesma potência: isto é “melhor troca de calor” (o fio fica menos quente).
  • Resistência de condução através de uma casca cilíndrica (caso de fio revestido): para um revestimento entre raios \,r_{1} (superfície do metal) e \,r_{2}=r_{1}+t (superfície externa do plástico) vale a fórmula clássica
    R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_{\text{rev}} L}.
    Explicação das variáveis: k_{\text{rev}} é a condutividade térmica do plástico, L o comprimento do fio, r_{1} e r_{2} os raios interno e externo da casca.
  • Resistência de convecção na superfície externa cilíndrica:
    R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{\text{ext}}\,2\pi r_{2} L},
    onde h_{\text{ext}} é o coeficiente de convecção e r_{2} é o raio externo (área lateral =2\pi r_{2} L).
  • Observação sobre o fio metálico interno: o metal tem k_{\rho}=18\\ \text{W/mK}, muito maior que o plástico ( 0,08\\ \text{W/mK}). Portanto a resistência térmica do metal (se comparada com a do plástico) é desprezível para esta configuração e pequenas espessuras — argumento simples: se duas camadas tivessem a mesma geometria, a resistência se inverte com k, logo a resistência relativa metal/plástico seria aproximadamente k_{\text{rev}}/k_{\rho}\approx 0,08/18\approx 0,0044, ou seja, o metal contribui muito pouco. Assim tratamos o núcleo metálico como praticamente isoterma na superfície interna r_{1}. (Isto simplifica sem perder precisão prática.)
  • Estratégia: para cada espessura t disponível calcular r_{2}=r_{1}+t, R_{\text{cond}}, R_{\text{conv}}, R_{\text{total}} e a queda de temperatura necessária \Delta T=P\cdot R_{\text{total}}. A espessura que minimizar \Delta T é a melhor para intensificar a troca de calor.

Passo 3

Constantes numéricas úteis e avaliação de constantes no modelo.
  • Potência: P=220\cdot 15=3300\\ \text{W}.
  • Raio do fio: r_{1}=0,003\\ \text{m}.
  • Constante do denominador da resistência de condução (mesma para todas as espessuras): 2\pi k_{\text{rev}} L = 2\pi\cdot 0,080\cdot 320 \approx 160,85.Portanto R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{160,85}.
  • Constante para convecção: 2\pi L\approx 2\pi\cdot 320\approx 2010,62. Assim R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{\text{ext}}(2\pi L) r_{2}}=\frac{1}{16\cdot 2010,62\cdot r_{2}}=\frac{1}{32169,9\; r_{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas para cada espessura.

Passo 4

Cálculos para t=0,001\\ \text{m} (espessura 1{,}0\\ \text{mm}).
  • Raio externo: r_{2}=r_{1}+t=0,003+0,001=0,004\\ \text{m}.
  • Resistência de condução: \ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{0,004}{0,003}\right)=\ln\!(1,333333)\approx 0,28768,
R_{\text{cond}}=\frac{0,28768}{160,85}\approx 0,001788\\ \text{K/W}.
  • Resistência de convecção: R_{\text{conv}}=\frac{1}{32169,9\cdot 0,004}\approx \frac{1}{128,6796}\approx 0,007771\\ \text{K/W}.
  • Resistência total e \Delta T: R_{\text{total}}=0,001788+0,007771=0,009559\\ \text{K/W},
\Delta T=P\cdot R_{\text{total}}=3300\cdot 0,009559\approx 31,54\\ \text{K}.
Temperatura do fio:
T_{\text{fio}}\approx T_{\infty}+\Delta T=28^\circ\text{C}+31,54\\ \text{K}\approx 59,5^\circ\text{C}.

Passo 5

Cálculos para t=0,002\\ \text{m} (espessura 2{,}0\\ \text{mm}).
  • Raio externo: r_{2}=0,003+0,002=0,005\\ \text{m}.
  • Condução: \ln\!\left(\frac{0,005}{0,003}\right)=\ln\!(1,6666667)\approx 0,51083,
R_{\text{cond}}=\frac{0,51083}{160,85}\approx 0,003177\\ \text{K/W}.
  • Convecção: R_{\text{conv}}=\frac{1}{32169,9\cdot 0,005}\approx \frac{1}{160,8495}\approx 0,006217\\ \text{K/W}.
  • Total e \Delta T: R_{\text{total}}=0,003177+0,006217=0,009394\\ \text{K/W},
\Delta T=3300\cdot 0,009394\approx 30,99\\ \text{K}.
Temperatura do fio:
T_{\text{fio}}\approx 28^\circ\text{C}+30,99\\ \text{K}\approx 58,99^\circ\text{C}.

Passo 6

Cálculos para t=0,003\\ \text{m} (espessura 3{,}0\\ \text{mm}).
  • Raio externo: r_{2}=0,003+0,003=0,006\\ \text{m}.
  • Condução: \ln\!\left(\frac{0,006}{0,003}\right)=\ln\!(2)=0,69315,
R_{\text{cond}}=\frac{0,69315}{160,85}\approx 0,004309\\ \text{K/W}.
  • Convecção: R_{\text{conv}}=\frac{1}{32169,9\cdot 0,006}\approx \frac{1}{193,0194}\approx 0,005181\\ \text{K/W}.
  • Total e \Delta T: R_{\text{total}}=0,004309+0,005181=0,009490\\ \text{K/W},
\Delta T=3300\cdot 0,009490\approx 31,32\\ \text{K},
T_{\text{fio}}\approx 59,3^\circ\text{C}.

Passo 7

Cálculos para t=0,004\\ \text{m} (espessura 4{,}0\\ \text{mm}).
  • Raio externo: r_{2}=0,003+0,004=0,007\\ \text{m}.
  • Condução: \ln\!\left(\frac{0,007}{0,003}\right)=\ln\!(2,3333333)\approx 0,84730,
R_{\text{cond}}=\frac{0,84730}{160,85}\approx 0,005267\\ \text{K/W}.
  • Convecção: R_{\text{conv}}=\frac{1}{32169,9\cdot 0,007}\approx \frac{1}{225,1893}\approx 0,004441\\ \text{K/W}.
  • Total e \Delta T: R_{\text{total}}=0,005267+0,004441=0,009708\\ \text{K/W},
\Delta T=3300\cdot 0,009708\approx 32,03\\ \text{K},
T_{\text{fio}}\approx 60,0^\circ\text{C}.

Passo 8

Cálculos para t=0,005\\ \text{m} (espessura 5{,}0\\ \text{mm}).
  • Raio externo: r_{2}=0,003+0,005=0,008\\ \text{m}.
  • Condução: \ln\!\left(\frac{0,008}{0,003}\right)=\ln\!(2,6666667)\approx 0,98083,
R_{\text{cond}}=\frac{0,98083}{160,85}\approx 0,006099\\ \text{K/W}.
  • Convecção: R_{\text{conv}}=\frac{1}{32169,9\cdot 0,008}\approx \frac{1}{257,3593}\approx 0,003885\\ \text{K/W}.
  • Total e \Delta T: R_{\text{total}}=0,006099+0,003885=0,009984\\ \text{K/W},
\Delta T=3300\cdot 0,009984\approx 32,95\\ \text{K},
T_{\text{fio}}\approx 60,9^\circ\text{C}.

Passo 9

Comparação final e interpretação (aula curta sobre por que o mínimo aparece onde aparece).
  • Resumo numérico das \Delta T (aproximadas):
    • t=0,001\\ \text{m}:\\ \Delta T\approx 31{,}54\\ \text{K}.
    • t=0,002\\ \text{m}:\\ \Delta T\approx 30{,}99\\ \text{K}. ← menor valor encontrado
    • t=0,003\\ \text{m}:\\ \Delta T\approx 31{,}32\\ \text{K}.
    • t=0,004\\ \text{m}:\\ \Delta T\approx 32{,}03\\ \text{K}.
    • t=0,005\\ \text{m}:\\ \Delta T\approx 32{,}95\\ \text{K}.
  • Interpretação física (didática e intuitiva):
    • Quando adicionamos uma camada muito fina de plástico ( t pequeno) aumentamos a área lateral total do cilindro (= 2\pi r_{2}L), o que reduz a resistência de convecção R_{\text{conv}}. Porém o plástico tem baixa condutividade ( k_{\text{rev}} pequeno), então aumentar muito a espessura aumenta R_{\text{cond}}.
    • Para pequenas espessuras iniciais esse aumento da área (redução de R_{\text{conv}}) compensa o acréscimo de resistência do plástico, fazendo a resistência total cair um pouco ao passar de t=0{,}001 para t=0{,}002. Mas além de certo ponto o efeito isolante do plástico domina e R_{\text{total}} cresce.
    • Dos valores disponíveis, o mínimo de R_{\text{total}} (portanto a melhor remoção do calor, menor \Delta T) ocorre em t=0{,}002\\ \text{m}.
  • Observação prática: Como a diferença entre t=0{,}001 e t=0{,}002 é pequena (~0,55 K de \Delta T), a escolha pode também considerar outras restrições (mecânica, elétrica, custo). Mas estritamente pelo critério térmico, t=0{,}002\\ \text{m} é o melhor.

Resposta

t=0,002\\ \text{m}

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