( 10,0 pontos) Uma resistência elétrica consiste em um fio maciço com 6 mm de diâmetro e 320 m de comprimento. O fio será submetido a uma tensão de 220 V e a uma corrente de 15 A . Com o objetivo de isolar eletricamente e de intensificar a troca de calor durante a operação, o fio será revestido com um material plástico cujas propriedades são as seguintes:
e
.K. O revestimento plástico está disponível em cinco espessuras padrões diferentes,
e
. As propriedades do fio são as seguintes:
,
e
. O coeficiente de convecção é igual a
e a temperatura do ambiente externo igual a
. Das cinco espessuras disponíveis para o revestimento plástico, qual é a mais apropriada para de intensificar a troca de calor entre o fio e o ar ambiente durante a operação? Justifique com cálculos.
Obs.: (Potência
Tensão × Corrente)
Obs.: (Potência
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Pergunta: Das cinco espessuras de revestimento plástico disponíveis, qual é a mais apropriada para intensificar a troca de calor entre o fio e o ar ambiente durante a operação? Justificar com cálculos.
- Dados fornecidos (vou listar todos com TeX):
- Diâmetro do fio:
raio do fio - Comprimento do fio:
- Tensão e corrente (potência elétrica dissipada):
. Potência: - Revestimento plástico:
Espessuras disponíveis: - Propriedades do fio (metal):
- Convecção externa:
- Temperatura ambiente:
- Diâmetro do fio:
Observação: a missão é comparar as espessuras e escolher a que “intensifica a troca de calor”. Vou interpretar isso como a que, sob operação (potência fixa
), resulta na menor diferença de temperatura entre o fio (superfície interna relevante) e o ambiente — ou seja, a menor resistência térmica total entre o gerador (fio) e o ar. Abaixo eu explico e calculo passo a passo.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
-
Ideia física: na situação de regime estacionário a potência elétrica dissipada
é removida para o ambiente por condução através do revestimento e convecção na superfície externa. Essas duas “dificuldades” para o calor agir em série formam resistências térmicas em série: resistência de condução do casulo plástico e resistência de convecção do ar. O fluxo de calor no estado estacionário satisfaz ondee Quanto menor, menor será para dissipar a mesma potência: isto é “melhor troca de calor” (o fio fica menos quente). -
Resistência de condução através de uma casca cilíndrica (caso de fio revestido): para um revestimento entre raios
(superfície do metal) e (superfície externa do plástico) vale a fórmula clássica Explicação das variáveis:é a condutividade térmica do plástico, o comprimento do fio, e os raios interno e externo da casca. -
Resistência de convecção na superfície externa cilíndrica:onde
é o coeficiente de convecção e é o raio externo (área lateral ). -
Observação sobre o fio metálico interno: o metal tem
, muito maior que o plástico ( ). Portanto a resistência térmica do metal (se comparada com a do plástico) é desprezível para esta configuração e pequenas espessuras — argumento simples: se duas camadas tivessem a mesma geometria, a resistência se inverte com , logo a resistência relativa metal/plástico seria aproximadamente , ou seja, o metal contribui muito pouco. Assim tratamos o núcleo metálico como praticamente isoterma na superfície interna . (Isto simplifica sem perder precisão prática.) -
Estratégia: para cada espessura
disponível calcular , , , e a queda de temperatura necessária . A espessura que minimizar é a melhor para intensificar a troca de calor.
Passo 3
Constantes numéricas úteis e avaliação de constantes no modelo.
- Potência:
- Raio do fio:
- Constante do denominador da resistência de condução (mesma para todas as espessuras):
Portanto - Constante para convecção:
. Assim
Vou aplicar essas fórmulas para cada espessura.
Passo 4
Cálculos para
(espessura
).
- Raio externo:
- Resistência de condução:
- Resistência de convecção:
- Resistência total e
:
Temperatura do fio:
Passo 5
Cálculos para
(espessura
).
- Raio externo:
- Condução:
- Convecção:
- Total e
:
Temperatura do fio:
Passo 6
Cálculos para
(espessura
).
- Raio externo:
- Condução:
- Convecção:
- Total e
:
Passo 7
Cálculos para
(espessura
).
- Raio externo:
- Condução:
- Convecção:
- Total e
:
Passo 8
Cálculos para
(espessura
).
- Raio externo:
- Condução:
- Convecção:
- Total e
:
Passo 9
Comparação final e interpretação (aula curta sobre por que o mínimo aparece onde aparece).
-
Resumo numérico das
(aproximadas): -
-
← menor valor encontrado -
-
-
-
-
Interpretação física (didática e intuitiva):
- Quando adicionamos uma camada muito fina de plástico (
pequeno) aumentamos a área lateral total do cilindro (= ), o que reduz a resistência de convecção . Porém o plástico tem baixa condutividade ( pequeno), então aumentar muito a espessura aumenta . - Para pequenas espessuras iniciais esse aumento da área (redução de
) compensa o acréscimo de resistência do plástico, fazendo a resistência total cair um pouco ao passar de para . Mas além de certo ponto o efeito isolante do plástico domina e cresce. - Dos valores disponíveis, o mínimo de
(portanto a melhor remoção do calor, menor ) ocorre em .
- Quando adicionamos uma camada muito fina de plástico (
-
Observação prática: Como a diferença entre
e é pequena (~0,55 K de ), a escolha pode também considerar outras restrições (mecânica, elétrica, custo). Mas estritamente pelo critério térmico, é o melhor.