Uma placa plana de espessura 2 L tem geração interna de calor variável (depende da posição) dada por
\dot{q}=\left\{\begin{array}{c} \dot{q}_{0}=\text { constante }, \quad-L<x<0 \\\\ 0, \quad 0<x<L \end{array}\right.
Sabendo que a superficie x=-L está isolada e que, sobre a superfície x=L, vale a Lei de Newton do resfriamento, encontre a temperatura na posição x=0.
São dados: \dot{q}_{0}, L, h e T_{\infty}.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a temperatura na posição [x=0) da placa.
Informações dadas no enunciado:
\dot{q}(x)=\begin{cases} \dot{q}_{0} & \text{para } -L<x<0,\\[4pt] 0 & \text{para } 0<x<L, \end{cases}
a superfície em x=-L\] está isolada (sem fluxo de calor), e na superfície \(x=L vale a Lei de Newton do resfriamento com coeficiente convectivo h e temperatura do fluido ambiente T_{\infty}.
Parâmetros que aparecem (vou explicitar todos porque são usados nas fórmulas):
\dot{q}_{0} — geração volumétrica de calor (potência por volume) constante na metade esquerda;
L — metade da espessura da placa (a placa vai de -L a +L);
h — coeficiente de convecção na superfície x=L;
T_{\infty} — temperatura do fluido ambiente;
k — condutividade térmica da placa (propriedade do material).
Observação importante: o problema precisa de k para relacionar gradientes de temperatura com fluxos; por isso vou mantê-lo como parâmetro na resolução (se na sua lista de dados k já estiver definido, basta substituir).
O objetivo operacional: resolver a equação de condução em regime estacionário, por partes (duas regiões), aplicar as condições de contorno e condições de acoplamento em x=0, e obter T(0).]

Passo 2

Equação governante (1D, estado estacionário, geração volumétrica): a forma diferencial da conservação de energia (Balanco de calor) é
\frac{d}{dx}\!\left(-k\frac{dT}{dx}\right)+\dot{q}(x)=0.
Como k é constante espacialmente (hipótese usual aqui), isso simplifica para
-k\frac{d^2T}{dx^2}+\dot{q}(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}(x)}{k}.
Explicando: \frac{d^2T}{dx^2} é a curvatura da temperatura; \dot{q}(x) é a geração volumétrica; dividir por k traduz geração em curvatura térmica.
Vamos resolver essa equação separadamente nas duas regiões onde \dot{q} é diferente.

Passo 3

Região 1: -L<x<0 com \dot{q}=\dot{q}_{0}. A equação é
\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}.
Integramos duas vezes. Primeira integração (derivada):
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Segunda integração:
T_{1}(x)=-\frac{\dot{q}_{0}}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante. Aqui T_{1}(x) significa temperatura na região -L<x<0.
Região 2: 0<x<L com \dot{q}=0. A equação é
\frac{d^2T}{dx^2}=0,
cuja solução geral é linear:
T_{2}(x)=A x + B,
com constantes A e B. Aqui T_{2}(x) é temperatura na região 0<x<L.
Agora precisamos determinar as constantes C_{1},C_{2},A,B pelas condições de contorno e de acoplamento.

Passo 4

Condição de contorno em x=-L: superfície isolada significa fluxo nulo. Fluxo é q_x=-k\,dT/dx, então
\left.\frac{dT_{1}}{dx}\right|_{x=-L}=0.
Usando \frac{dT_{1}}{dx}=-\dfrac{\dot{q}_{0}}{k}x + C_{1} obtemos
0 = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}(-L) + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-\frac{\dot{q}_{0}L}{k}.
Interpretação física: devido à geração na metade esquerda, o gradiente em x=0 é negativo (calor flui para a direita), e o isolamento em -L força simetria de fluxo nulo naquele extremo.

Passo 5

Condições no acoplamento x=0:
  1. Continuidade de temperatura:
T_{1}(0)=T_{2}(0).
  1. Continuidade de fluxo (sem armazenamento volumétrico na interface): o fluxo condutivo vindo da esquerda deve igualar o fluxo para a direita:
-k\left.\frac{dT_{1}}{dx}\right|_{x=0} = -k\left.\frac{dT_{2}}{dx}\right|_{x=0} \quad\Longrightarrow\quad \left.\frac{dT_{1}}{dx}\right|_{x=0} = \left.\frac{dT_{2}}{dx}\right|_{x=0}.
Calculemos as derivadas em x=0. Da região 1:
\left.\frac{dT_{1}}{dx}\right|_{x=0} = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}\cdot 0 + C_{1} = C_{1} = -\frac{\dot{q}_{0}L}{k}.
Da região 2 a derivada é constante A:
\left.\frac{dT_{2}}{dx}\right|_{x=0} = A.
Igualando, obtemos
A = -\frac{\dot{q}_{0}L}{k}.
Agora a continuidade de temperatura em x=0:
T_{1}(0)=C_{2},\qquad T_{2}(0)=B,
logo
C_{2}=B.
Portanto a constante de termo livre das duas soluções é a mesma (é exatamente T(0) que queremos).

Passo 6

Condição convectiva em x=L (Lei de Newton): o fluxo condutivo que sai em x=L é igual ao fluxo convectivo para o meio:
-k\left.\frac{dT_{2}}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T_{2}(L)-T_{\infty}\bigr).
A derivada em toda a região 2 é A, então \left.dT_{2}/dx\right|_{x=L}=A. Substituindo A obtido no passo anterior:
-kA = -k\left(-\frac{\dot{q}_{0}L}{k}\right) = \dot{q}_{0}L.
Logo a condição convectiva fica
\dot{q}_{0}L = h\bigl(T_{2}(L)-T_{\infty}\bigr).
Agora escrevemos T_{2}(L) em termos de A e B:
T_{2}(L)=A L + B = -\frac{\dot{q}_{0}L}{k}\,L + B = -\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k}+B.
Substituindo em \dot{q}_{0}L = h(T_{2}(L)-T_{\infty}) obtemos
\dot{q}_{0}L = h\left(-\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k}+B - T_{\infty}\right).
Isolando B (lembre: B=T(0)):
B = T_{\infty} + \frac{\dot{q}_{0}L}{h} + \frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k}.

Passo 7

Interpretação e forma final: achamos que a temperatura em x=0 (que é B) é
T(0)=T_{\infty} + \frac{\dot{q}_{0}L}{h} + \frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k}.
Explicando os termos:
  • \dfrac{\dot{q}_{0}L}{h} representa a elevação de temperatura associada à resistência convectiva na face x=L (quanto menor h, maior essa parcela);
  • \dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k} representa a elevação associada à condução interna da metade esquerda para a interface x=0 (quanto menor k, maior essa parcela).
    Fique tranquilo: essa expressão é direta de aplicar as condições físicas e integrações; na prova você pode derivar as mesmas etapas rápidas em poucos passos como fizemos.

Resposta

T(0)=T_{\infty}+\frac{\dot{q}_{0}L}{h}+\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k}.

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