Exercício 5 - Uma adutora fomece a água tratada a uma vazão de 150 V s, através de uma tubulação de diâmetro de 400 mm e 2 km de extensão.
A) Determinar a perda de carga pela fórmula universal considerando \varepsilon=0,1 \mathrm{~mm}.
B) Qual a diferença percentual em relação ao item anterior caso a perda de carga fosse calculada por Hazen-Williams, considerando \mathrm{C}=130.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar a perda de carga usando a “fórmula universal” (Darcy–Weisbach + equação de Colebrook/Colebrook-approx) com rugosidade \varepsilon=0,1\\ \mathrm{mm}.
Calcular a diferença percentual entre o resultado do item A e o resultado obtido pela fórmula de Hazen–Williams com C=130.
Assumo água a 20^\circ\mathrm{C} com viscosidade cinemática típica
\nu = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},
e gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Calcular a área da seção transversal e a velocidade média V.
Fórmula da área:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Cálculo:
D^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16,
A = \pi\cdot 0{,}04 \approx 0{,}12566\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A}.
Cálculo:
V = \frac{0{,}150}{0{,}12566} \approx 1{,}1937\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a água está fluindo a aproximadamente 1{,}19\\ \mathrm{m/s} — já indica escoamento provavelmente turbulento para um duto desse diâmetro.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} para verificar o regime de escoamento.
Esse parâmetro entra na equação de Colebrook para obter o fator de atrito.
Passo 5
Obter o fator de atrito f. A equação de Colebrook é implícita; uma aproximação explícita muito utilizada é a fórmula de Swamee–Jain (boa para escoamento turbulento):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Explicação rápida: essa fórmula dá um valor de f equivalente ao que se obteria por Colebrook, mas sem precisar iterar. Aqui \log_{10} é o logaritmo na base 10.
Interpretação: a perda de carga total ao longo dos 2000\\ \mathrm{m} é \approx 5{,}82\\ \mathrm{m} de coluna de água segundo Darcy–Weisbach com o f calculado.
Passo 7
Calcular a perda de carga pela fórmula de Hazen–Williams (item B). A forma prática em unidades SI é:
onde Q está em \mathrm{m^3/s}, D em \mathrm{m}, L em \mathrm{m}, e h_f em metros.
Explicação: Hazen–Williams é empírica, usada muito em redes de água potável; não depende da viscosidade explicitamente e é menos precisa fora de condições típicas, mas é comum em projetos.
Interpretação: Hazen–Williams estima uma perda cerca de 15{,}5\% maior do que a fórmula universal neste caso; diferenças desse tipo são comuns porque as hipóteses e dependências (viscosidade, rugosidade) são tratadas diferentemente nas duas fórmulas.
Passo 9
Resumo prático / dica para prova:
Calcule sempre área e velocidade primeiro.
Verifique \mathrm{Re} para saber se pode usar aproximações turbulentas.
Para Darcy–Weisbach use Colebrook (iterativo) ou Swamee–Jain (explícito) para obter f.
Hazen–Williams é direta mas empírica; cuidado ao comparar resultados.
Guarde as fórmulas chave: A=\pi D^2/4, \mathrm{Re}=VD/\nu, h_f=f(L/D)\,V^2/(2g) e a forma prática de Hazen–Williams.
Força — você já tem os passos completos para reproduzir isso na prova!
Resposta
A) Perda de carga (fórmula universal, Darcy–Weisbach) \;h_f \approx 5{,}82\\ \mathrm{m}.
B) Diferença percentual em relação ao item A (Hazen–Williams)\;\approx 15{,}5\%.