Exercício 5 - Uma adutora fomece a água tratada a uma vazão de 150 V s, através de uma tubulação de diâmetro de 400 mm e 2 km de extensão.
A) Determinar a perda de carga pela fórmula universal considerando \varepsilon=0,1 \mathrm{~mm}.
B) Qual a diferença percentual em relação ao item anterior caso a perda de carga fosse calculada por Hazen-Williams, considerando \mathrm{C}=130.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a perda de carga usando a “fórmula universal” (Darcy–Weisbach + equação de Colebrook/Colebrook-approx) com rugosidade \varepsilon=0,1\\ \mathrm{mm}.
  2. Calcular a diferença percentual entre o resultado do item A e o resultado obtido pela fórmula de Hazen–Williams com C=130.
Dados fornecidos (conversões feitas):
\begin{aligned} &Q = 150\\ \mathrm{L/s} = 0,150\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &D = 400\\ \mathrm{mm} = 0,4\\ \mathrm{m},\\\ &L = 2\\ \mathrm{km} = 2000\\ \mathrm{m},\\\ &\varepsilon = 0,1\\ \mathrm{mm} = 0,0001\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Assumo água a 20^\circ\mathrm{C} com viscosidade cinemática típica
\nu = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},
e gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal e a velocidade média V.
Fórmula da área:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Cálculo:
D^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16,
A = \pi\cdot 0{,}04 \approx 0{,}12566\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V = \frac{Q}{A}.
Cálculo:
V = \frac{0{,}150}{0{,}12566} \approx 1{,}1937\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a água está fluindo a aproximadamente 1{,}19\\ \mathrm{m/s} — já indica escoamento provavelmente turbulento para um duto desse diâmetro.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} para verificar o regime de escoamento.
Definição:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
Cálculo:
\mathrm{Re} = \frac{1{,}1937\cdot 0{,}4}{1{,}00\times10^{-6}} \approx 4{,}77\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 4,8\times10^{5} → escoamento turbulento (pois \mathrm{Re}\gg4000).

Passo 4

Calcular a rugosidade relativa \varepsilon/D.
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0{,}0001}{0{,}4} = 2{,}5\times10^{-4}.
Esse parâmetro entra na equação de Colebrook para obter o fator de atrito.

Passo 5

Obter o fator de atrito f. A equação de Colebrook é implícita; uma aproximação explícita muito utilizada é a fórmula de Swamee–Jain (boa para escoamento turbulento):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Explicação rápida: essa fórmula dá um valor de f equivalente ao que se obteria por Colebrook, mas sem precisar iterar. Aqui \log_{10} é o logaritmo na base 10.
Calculemos os termos internos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{0{,}0001}{3{,}7\cdot 0{,}4} \approx 6{,}76\times10^{-5},
\mathrm{Re}^{0{,}9} \approx (4{,}77\times10^{5})^{0{,}9} \approx 1{,}29\times10^{5},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{1{,}29\times10^{5}} \approx 4{,}46\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 1{,}12\times10^{-4}.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(1{,}12\times10^{-4}) \approx -3{,}95.
Portanto:
f \approx \frac{0{,}25}{(-3{,}95)^2} = \frac{0{,}25}{15{,}60} \approx 0{,}0160.
Interpretação: fator de atrito f\approx 0{,}016, valor típico para tubos relativamente lisos em regime turbulento.

Passo 6

Calcular a perda de carga pelo método de Darcy–Weisbach (a “fórmula universal”).
Equação:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Já temos f, L/D = 2000/0{,}4 = 5000, e V. Calculemos V^2/(2g):
\frac{V^2}{2g} = \frac{1{,}1937^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{1{,}4249}{19{,}62} \approx 0{,}07265\\ \mathrm{m}.
Agora:
h_f = 0{,}0160 \cdot 5000 \cdot 0{,}07265 \approx 5{,}82\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda de carga total ao longo dos 2000\\ \mathrm{m} é \approx 5{,}82\\ \mathrm{m} de coluna de água segundo Darcy–Weisbach com o f calculado.

Passo 7

Calcular a perda de carga pela fórmula de Hazen–Williams (item B). A forma prática em unidades SI é:
h_f = 10{,}67\, L\, \frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\, D^{4{,}87}},
onde Q está em \mathrm{m^3/s}, D em \mathrm{m}, L em \mathrm{m}, e h_f em metros.
Explicação: Hazen–Williams é empírica, usada muito em redes de água potável; não depende da viscosidade explicitamente e é menos precisa fora de condições típicas, mas é comum em projetos.
Calculemos os termos:
Q^{1{,}852} = 0{,}150^{1{,}852} \approx 0{,}02983,
C^{1{,}852} = 130^{1{,}852} \approx 8{,}20\times10^{3},
D^{4{,}87} = 0{,}4^{4{,}87} \approx 0{,}01156.
Denominador:
C^{1{,}852}D^{4{,}87} \approx 8{,}20\times10^{3}\cdot 0{,}01156 \approx 94{,}8.
Numerador:
10{,}67\cdot L\cdot Q^{1{,}852} = 10{,}67\cdot 2000\cdot 0{,}02983 \approx 636{,}6.
Portanto:
h_f\big|_{HW} \approx \frac{636{,}6}{94{,}8} \approx 6{,}72\\ \mathrm{m}.
Interpretação: Hazen–Williams dá h_f\approx 6{,}72\\ \mathrm{m}, maior que o valor pela fórmula universal.

Passo 8

Calcular a diferença percentual entre Hazen–Williams e Darcy–Weisbach (usando o resultado do item A como referência):
Fórmula:
\%\Delta = \frac{h_{HW} - h_{DW}}{h_{DW}}\times 100\%.
Substituindo:
\%\Delta = \frac{6{,}72 - 5{,}82}{5{,}82}\times 100\% \approx \frac{0{,}90}{5{,}82}\times 100\% \approx 15{,}5\%.
Interpretação: Hazen–Williams estima uma perda cerca de 15{,}5\% maior do que a fórmula universal neste caso; diferenças desse tipo são comuns porque as hipóteses e dependências (viscosidade, rugosidade) são tratadas diferentemente nas duas fórmulas.

Passo 9

Resumo prático / dica para prova:
  • Calcule sempre área e velocidade primeiro.
  • Verifique \mathrm{Re} para saber se pode usar aproximações turbulentas.
  • Para Darcy–Weisbach use Colebrook (iterativo) ou Swamee–Jain (explícito) para obter f.
  • Hazen–Williams é direta mas empírica; cuidado ao comparar resultados.
  • Guarde as fórmulas chave: A=\pi D^2/4, \mathrm{Re}=VD/\nu, h_f=f(L/D)\,V^2/(2g) e a forma prática de Hazen–Williams.
Força — você já tem os passos completos para reproduzir isso na prova!

Resposta

A) Perda de carga (fórmula universal, Darcy–Weisbach) \;h_f \approx 5{,}82\\ \mathrm{m}.
B) Diferença percentual em relação ao item A ( Hazen–Williams ) \;\approx 15{,}5\%.

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