Considere
, definida para
.
(a) (2 pontos) Calcule a transformada de Laplace de
.
(a) (2 pontos) Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(t) = 4 \delta(t-1) + u_{2}(t) \cdot t $, definida para $ t \geq 0
\delta(t-a)
u_c(t) $) multiplicada por uma função.
Passo 2
Vamos calcular a transformada de Laplace da primeira parte da função: $ 4 \delta(t-1) $. A Delta de Dirac, $ \delta(t-a) $, tem a propriedade de que sua transformada de Laplace é $ e^{-as} $. Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da segunda parte: $ u_{2}(t) \cdot t $. A função $ u_c(t) $ é o degrau unitário que “liga” a função a partir de $ t = c $. A transformada de Laplace de $ u_c(t) \cdot f(t) $ é dada por $ e^{-cs} \mathcal{L}{f(t+c)} $.
Aqui, $ f(t) = t $, então precisamos calcular $ \mathcal{L}{t + 2} $, pois o degrau está deslocado para $ t = 2 $.
Calculando a transformada de $ t $:
Portanto,
Passo 4
Finalmente, somamos as transformadas das duas partes para obter a transformada de Laplace completa da função $ f(t) $:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é: