(10 pontos) Seja
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)
(a) Encontre matrizes P invertivel e D diagonal tais que P^{-1} A P=D.
(b) Encontre matrizes Q ortogonal e D diagonal tais que Q^{T} A Q=D.

Passo 1

Neste exercício vamos diagonalizar a matriz A de forma geral (parte a) e de forma ortogonal (parte b). O conteúdo envolve achar autovalores e autovetores de uma matriz 3\times3 e montar as matrizes P, D e Q.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de
A=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&1\\\ 0&1&1\end{pmatrix}.
Temos
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-1\bigr) =(1-\lambda)\lambda(\lambda-2),
logo os autovalores são \lambda=1, \lambda=2 e \lambda=0.

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)x=0. As equações dão x_2=0 e x_3=0 com x_1 livre. Um autovetor associado é
v_1=(1,0,0).

Passo 4

Para \lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0. Da primeira linha vem x_1=0 e as outras dão x_3=x_2. Um autovetor é
v_2=(0,1,1).

Passo 5

Para \lambda=0 resolvemos Ax=0. Da primeira linha vem x_1=0 e as outras dão x_3=-x_2. Um autovetor é
v_3=(0,1,-1).

Passo 6

Juntando os autovetores em P e listando os autovalores em D na mesma ordem, temos
P=\begin{pmatrix} v_1&v_2&v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&1\\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix},\quad D=\mathrm{diag}(1,2,0).
Então P é invertível e satisfaz P^{-1}AP=D.

Passo 7

Como A é simétrica, podemos escolher autovetores ortonormais. Normalizando v_1,v_2,v_3 obtemos
u_1=(1,0,0),\quad u_2=\tfrac1{\sqrt2}(0,1,1),\quad u_3=\tfrac1{\sqrt2}(0,1,-1).
Colocando essas colunas em
Q=\begin{pmatrix} u_1&u_2&u_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\\\ 0&\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2} \end{pmatrix}
temos Q^TQ=I e
Q^TAQ=D.

Resposta

Para (a):
P=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&1\\\\ 0&1&-1 \end{pmatrix},\quad D=\mathrm{diag}(1,2,0).
Para (b):
Q=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\\\ 0&\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2} \end{pmatrix},\quad D=\mathrm{diag}(1,2,0).

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