3. (8 pontos)

(a) Prove que se A é matriz n \times n hermitiana, então seus autovalores são sempre reais.
Sugestão: Se M é matriz quadrada qualquer, \langle M u, v\rangle=\left\langle u, M^{*} v\right\rangle.
(b) Prove que se A é matriz hermitiana n \times n com um único autoespaço, então A é um múltiplo da matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma matriz hermitiana A\in\mathbb{C}^{n\times n}:
  1. (a) Mostrar que todo autovalor \lambda de A é real.
  2. (b) Mostrar que, se A tem exatamente um autoespaço (ou seja, só um único valor próprio \lambda), então A é \lambda vezes a identidade.
    Para (a) usaremos a propriedade do produto interno sugerida
\langle M u, v\rangle = \langle u, M^* v\rangle
e para (b) usaremos que matrizes hermitianas são diagonalizáveis unitariamente.

Passo 2

Prova de que os autovalores são reais.
Seja x\neq 0 um autovetor de A associado ao autovalor \lambda, ou seja
A x = \lambda x.
Então, usando o produto interno em \mathbb{C}^n,
\langle A x, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\,\langle x,x\rangle.
Por outro lado, como A é hermitiana, A^*=A, então
\langle A x, x\rangle = \langle x, A^* x\rangle = \langle x, A x\rangle = \overline{\langle A x, x\rangle} =\overline{\lambda\,\langle x,x\rangle} =\overline{\lambda}\,\langle x,x\rangle.
Como \langle x,x\rangle>0, obtemos
\lambda\,\langle x,x\rangle = \overline{\lambda}\,\langle x,x\rangle \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \overline{\lambda},
logo \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 3

Prova de que, se há um único autoespaço, então A é múltiplo da identidade.
Sabemos que toda matriz hermitiana é diagonalizável por uma unidade U, isto é,
A = U\,D\,U^*,
onde D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) com \lambda_i\in\mathbb{R}. Cada valor \lambda_i gera um autoespaço em \mathbb{C}^n, e a soma das dimensões desses autoespaços é n. Se existe apenas um autoespaço, então só há um valor próprio \lambda (de multiplicidade algébrica n), de modo que
D = \lambda\,I_n.
Substituindo em A = U\,D\,U^* vem
A = U\,(\lambda I_n)\,U^* = \lambda\,(U\,U^*) = \lambda\,I_n.

Resposta

(a) Todo autovalor de matriz hermitiana é real.
(b) Se A tem um único autoespaço, então A=\lambda I_n.

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