(a) Prove que se A é matriz n \times n hermitiana, então seus autovalores são sempre reais.
Sugestão: Se M é matriz quadrada qualquer, \langle M u, v\rangle=\left\langle u, M^{*} v\right\rangle.
(b) Prove que se A é matriz hermitiana n \times n com um único autoespaço, então A é um múltiplo da matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para uma matriz hermitiana A\in\mathbb{C}^{n\times n}:
(a) Mostrar que todo autovalor \lambda de A é real.
(b) Mostrar que, se A tem exatamente um autoespaço (ou seja, só um único valor próprio \lambda), então A é \lambda vezes a identidade.
Para (a) usaremos a propriedade do produto interno sugerida
\langle M u, v\rangle = \langle u, M^* v\rangle
e para (b) usaremos que matrizes hermitianas são diagonalizáveis unitariamente.
Passo 2
Prova de que os autovalores são reais.
Seja x\neq 0 um autovetor de A associado ao autovalor \lambda, ou seja
Prova de que, se há um único autoespaço, então A é múltiplo da identidade.
Sabemos que toda matriz hermitiana é diagonalizável por uma unidade U, isto é,
A = U\,D\,U^*,
onde D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) com \lambda_i\in\mathbb{R}. Cada valor \lambda_i gera um autoespaço em \mathbb{C}^n, e a soma das dimensões desses autoespaços é n. Se existe apenas um autoespaço, então só há um valor próprio \lambda (de multiplicidade algébrica n), de modo que
D = \lambda\,I_n.
Substituindo em A = U\,D\,U^* vem
A = U\,(\lambda I_n)\,U^* = \lambda\,(U\,U^*) = \lambda\,I_n.
Resposta
(a) Todo autovalor de matriz hermitiana é real.
(b) Se A tem um único autoespaço, então A=\lambda I_n.