(6 pontos) Considere as bases B=\{(1,3),(-2,4)\} de \mathbb{R}^{2} e B^{\prime}=\{(1,1,1),(2,1,0),(1,0,0)\} de \mathbb{R}^{3}. Seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(x+2 y,-x, 0). Encontre a matriz (T)_{B^{\prime}, B} tal que
(T(v))_{B^{\prime}}=(T)_{B^{\prime}, B}(v)_{B}

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 relativa à base do domínio B=\{(1,3),(-2,4)\} e à base do contradomínio B'=\{(1,1,1),(2,1,0),(1,0,0)\}. Por definição, cada coluna de (T)_{B',B} é o vetor de coordenadas de T(b_j) em B', onde b_j são os vetores de B.

Passo 2

Para b_1=(1,3) temos
T(1,3) = (1+2\cdot3,\,-1,\,0) = (7,-1,0).
Procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(1,1,1)+\beta(2,1,0)+\gamma(1,0,0)=(7,-1,0).
Da terceira coordenada vem \alpha=0. Da segunda, \beta=-1. Da primeira, 2\beta+\gamma=-2+\gamma=7, logo \gamma=9.
Assim, a primeira coluna é
\bigl[(T(1,3))\bigr]_{B'}=(0,\,-1,\,9)^{T}.

Passo 3

Para b_2=(-2,4) temos
T(-2,4)=(-2+2\cdot4,\;2,\;0)=(6,2,0).
Resolvendo
\alpha(1,1,1)+\beta(2,1,0)+\gamma(1,0,0)=(6,2,0)
pelas mesmas ideias, obtemos \alpha=0, \beta=2 e \gamma=2.
Logo, a segunda coluna é
\bigl[(T(-2,4))\bigr]_{B'}=(0,\,2,\,2)^{T}.

Passo 4

Juntando as colunas, a matriz de T relativa a B e B' é dada por

Resposta

(T)_{B^{\prime},B} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ -1 & 2\\\\ 9 & 2 \end{pmatrix}.

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