(8 pontos) Seja P_{2} o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Considere a transformação T: P_{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} que associa a cada polinômio p \in P_{2} o vetor (p(0), p(1)).
(a) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) Encontre bases para a imagem e o núcleo de T.
(c) T é injetora?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P_{2} dos polinômios de grau \le2 e a transformação linear
T: P_{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2},\quad T(p) = \bigl(p(0),\,p(1)\bigr).
Precisamos (a) mostrar que T é linear, (b) encontrar bases de \Im(T) e de \Ker(T) e (c) investigar se T é injetora.

Passo 2

Para provar que T é linear, tomemos p,q\in P_{2} e \lambda\in\mathbb{R}. Então
T(p+q) = \bigl((p+q)(0),\,(p+q)(1)\bigr) = \bigl(p(0)+q(0),\,p(1)+q(1)\bigr) = \bigl(p(0),p(1)\bigr) + \bigl(q(0),q(1)\bigr) = T(p) + T(q),
e
T(\lambda p) = \bigl((\lambda p)(0),\,(\lambda p)(1)\bigr) = \bigl(\lambda p(0),\,\lambda p(1)\bigr) = \lambda\,T(p).
Logo, T é transformação linear.

Passo 3

Para achar \Ker(T), escrevemos um polinômio genérico
p(x)=ax^{2}+bx+c
e aplicamos as condições p(0)=0 e p(1)=0. Da primeira vem c=0. Da segunda,
p(1)=a+b+c = a+b+0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b=-a.
Logo
p(x) = a\,x^{2} +(-a)\,x = a\bigl(x^{2}-x\bigr).
Assim
\Ker(T) = \bigl\{\,a(x^{2}-x)\mid a\in\mathbb{R}\bigr\} = \Span\{\,x^{2}-x\},
e uma base de \Ker(T) é \{\,x^{2}-x\}.

Passo 4

Para \Im(T), note que \dim P_{2}=3 e \dim\Ker(T)=1. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
\dim\Im(T) = 3 - 1 = 2.
Além disso, aplicando T à base canônica de P_{2}:
T(1) = (1,1), \quad T(x) = (0,1), \quad T(x^{2}) = (0,1).
Os vetores (1,1) e (0,1) são linearmente independentes em \mathbb{R}^{2}, logo
\Im(T) = \Span\{(1,1),\,(0,1)\}.
Uma base de \Im(T) é \{(1,1),\,(0,1)\}. Note que também poderíamos usar a base padrão \{(1,0),(0,1)\}, pois \Im(T)=\mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, \Ker(T)=\{0\}. Aqui \Ker(T)=\Span\{x^{2}-x\}\neq\{0\}. Portanto, T não é injetora.

Resposta

(a) T é linear porque preserva soma e produto por escalar conforme mostrado.
(b) \displaystyle \Ker(T)=\Span\{x^{2}-x\} com base \{x^{2}-x\} e \displaystyle \Im(T)=\Span\{(1,1),\,(0,1)\} com base \{(1,1),(0,1)\}.
(c) T não é injetora.

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