(8 pontos) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Considere a transformação
que associa a cada polinômio
o vetor
.
(a) Mostre que
é uma transformação linear.
(b) Encontre bases para a imagem e o núcleo de
.
(c)
é injetora?
(a) Mostre que
(b) Encontre bases para a imagem e o núcleo de
(c)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
dos polinômios de grau
e a transformação linear
Precisamos (a) mostrar que
é linear, (b) encontrar bases de
e de
e (c) investigar se
é injetora.
Passo 2
Para provar que
é linear, tomemos
e
. Então
e
Logo,
é transformação linear.
Passo 3
Para achar
, escrevemos um polinômio genérico
e aplicamos as condições
e
. Da primeira vem
. Da segunda,
Logo
Assim
e uma base de
é
.
Passo 4
Para
, note que
e
. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
Além disso, aplicando
à base canônica de
:
Os vetores
e
são linearmente independentes em
, logo
Uma base de
é
. Note que também poderíamos usar a base padrão
, pois
.
Passo 5
Uma transformação linear é injetora se, e somente se,
. Aqui
. Portanto,
não é injetora.
Resposta
(a)
é linear porque preserva soma e produto por escalar conforme mostrado.
(b) com base e
com base
.
(c) não é injetora.
(b) com base
(c)