pontos) Sejam
dada por
. Determine os pontos de máximos e de mínimos absolutos de g restrita ao intervalo
. Calcule também os valores mínimo e máximo de g nesse intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
,
, restrita ao intervalo
. Queremos determinar os pontos de máximo e mínimo absolutos e seus valores. O conteúdo é cálculo de extremos absolutos de função em intervalo fechado, usando derivada.
Passo 2
Verificamos que
está bem definida e contínua em
pois
e o polinômio são contínuos nesse intervalo. Logo, pelo teorema de Weierstrass,
atinge máximo e mínimo absolutos em
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Primeiro escrevemos
.
Passo 4
Identificamos os pontos críticos no interior resolvendo
:
Não há outros, pois o denominador
só se anula em
, que será tratado como endpoint.
Passo 5
Comparamos os valores de
nos candidatos
,
e
:
Passo 6
Como
é o maior valor obtido, o máximo absoluto ocorre em
. Como
é o menor, o mínimo absoluto ocorre em
.
Resposta
Máximo absoluto em x=1 com g(1)=2;
Mínimo absoluto em x=8 com g(8)=-10\sqrt{2}.
Valores: máximo = 2, mínimo = -10\sqrt{2}.
Mínimo absoluto em x=8 com g(8)=-10\sqrt{2}.
Valores: máximo = 2, mínimo = -10\sqrt{2}.