(10,5 pontos) Sejam g R R dada por g(x)=raizx(3-x). Determine os pontos de máximos e de mínimos absolutos de g restrita ao intervalo [0, 8]. Calcule também os valores mínimo e máximo de g nesse intervalo

Passo 1

O enunciado dá a função gcolon RtoR, g(x)=raizx(3-x), restrita ao intervalo [0,8]. Queremos determinar os pontos de máximo e mínimo absolutos e seus valores. O conteúdo é cálculo de extremos absolutos de função em intervalo fechado, usando derivada.

Passo 2

Verificamos que g está bem definida e contínua em [0,8] pois raizx e o polinômio são contínuos nesse intervalo. Logo, pelo teorema de Weierstrass, g atinge máximo e mínimo absolutos em [0,8].

Passo 3

Calculamos a derivada de g. Primeiro escrevemos g(x)=x^1/2(3-x).
g'(x) = ddxl(x^1/2(3-x)r) = 12x^-1/2(3-x) + x^1/2(-1) = 3-x2raizx - raizx = 3-3x2raizx

Passo 4

Identificamos os pontos críticos no interior resolvendo g'(x)=0:
3-3x=0 implies x=1
Não há outros, pois o denominador 2raizx só se anula em x=0, que será tratado como endpoint.

Passo 5

Comparamos os valores de g nos candidatos x=0, x=1 e x=8:
g(0)=0,
g(1)=1cdot(3-1)=2,
g(8)=raiz8(3-8)=2raiz2cdot(-5)=-10raiz2

Passo 6

Como 2 é o maior valor obtido, o máximo absoluto ocorre em x=1. Como -10raiz2 é o menor, o mínimo absoluto ocorre em x=8.

Resposta

Máximo absoluto em x=1 com g(1)=2;
Mínimo absoluto em x=8 com g(8)=-10\sqrt{2}.
Valores: máximo = 2, mínimo = -10\sqrt{2}.

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