Dada a função
, determine:
(b) Os intervalos em que
é crescente e decrescente
(b) Os intervalos em que
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função f(x)=
é crescente ou decrescente. O conteúdo que vamos usar é monotonicidade de funções usando a derivada, e vamos precisar aplicar a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro vamos observar o domínio e tentar simplificar f(x). Como x²−9=(x−3)(x+3), temos:
Passo 3
O domínio de f é todos os reais exceto x=3, ou seja (-∞,3)∪(3,∞).
Passo 4
Para ver onde f cresce ou decresce, calculamos f’(x) usando a regra do quociente: se u=x²−9 e v=x−3, então u’=2x e v’=1. Assim:
Passo 5
Agora simplificamos o numerador:
Passo 6
Logo
Passo 7
Como f’(x)=1>0 em todo domínio de f, a função é estritamente crescente em cada intervalo do domínio e não possui trechos decrescentes.
Resposta
f é crescente em (-∞,3) e em (3,∞). Não há intervalos de decrescimento.