Dada a função f(x)=x^2-9x-3, determine:
(b) Os intervalos em que f(x) é crescente e decrescente

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função f(x)= x^2-9x-3 é crescente ou decrescente. O conteúdo que vamos usar é monotonicidade de funções usando a derivada, e vamos precisar aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro vamos observar o domínio e tentar simplificar f(x). Como x²−9=(x−3)(x+3), temos:
f(x)=(x-3)(x+3)x-3=x+3, xneq3

Passo 3

O domínio de f é todos os reais exceto x=3, ou seja (-∞,3)∪(3,∞).

Passo 4

Para ver onde f cresce ou decresce, calculamos f’(x) usando a regra do quociente: se u=x²−9 e v=x−3, então u’=2x e v’=1. Assim:
f'(x)=u'v - u v'v^2=2x(x-3)-(x^2-9)cdot1(x-3)^2

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
2x(x-3)-(x^2-9)=2x^2-6x-x^2+9=x^2-6x+9=(x-3)^2

Passo 6

Logo
f'(x)=(x-3)^2(x-3)^2=1, xneq3

Passo 7

Como f’(x)=1>0 em todo domínio de f, a função é estritamente crescente em cada intervalo do domínio e não possui trechos decrescentes.

Resposta

f é crescente em (-∞,3) e em (3,∞). Não há intervalos de decrescimento.

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