Seja
a região do plano delimitada pelas seguintes curvas:
- A reta
- A reta
- A reta
- A parábola
.
- A parábola
.
ponto) Calcule a área de
Passo 1
Resumo do enunciado: A região Ω é a área do plano limitada pelas retas x=1/2 e x=1 e pelas duas parábolas y=x^{2} (embaixo) e y=2-(2x-1)^{2} (embaixo e em cima, respectivamente). Esse é um problema de área entre curvas, e para resolver vamos precisar: (i) identificar qual curva é a de cima e qual é a de baixo no intervalo de x; (ii) achar os limites de integração; (iii) calcular a integral da diferença das funções.
Passo 2
Para achar onde as parábolas se cruzam, resolvemos
que leva a
Suas raízes são x=1 e x=-\tfrac{1}{5}. No intervalo de interesse [\tfrac12,1], só aparece x=1. Assim, em x∈[\tfrac12,1], y=x^{2} é sempre a função de baixo e y=2-(2x-1)^{2} a de cima.
Passo 3
Montamos a integral da área como diferença entre as curvas superior e inferior:
Passo 4
Expandindo o integrando:
Passo 5
Passo 6
Calculamos então a integral:
Avaliaremos de x=1/2 até x=1:
Passo 7
Para x=1 temos
e para x=1/2:
Fazendo a diferença A=4/3-19/24=13/24.