Seja Omega a região do plano delimitada pelas seguintes curvas:
  • A reta x=12
  • A reta x=1
  • A reta y= 0
  • A parábola y= x^2.
  • A parábola y=2-(2 x-1)^2.
    (1,5 ponto) Calcule a área de Omega

Passo 1

Resumo do enunciado: A região Ω é a área do plano limitada pelas retas x=1/2 e x=1 e pelas duas parábolas y=x^{2} (embaixo) e y=2-(2x-1)^{2} (embaixo e em cima, respectivamente). Esse é um problema de área entre curvas, e para resolver vamos precisar: (i) identificar qual curva é a de cima e qual é a de baixo no intervalo de x; (ii) achar os limites de integração; (iii) calcular a integral da diferença das funções.

Passo 2

Para achar onde as parábolas se cruzam, resolvemos
x^2=2-(2x-1)^2
que leva a
5x^2-4x-1=0
Suas raízes são x=1 e x=-\tfrac{1}{5}. No intervalo de interesse [\tfrac12,1], só aparece x=1. Assim, em x∈[\tfrac12,1], y=x^{2} é sempre a função de baixo e y=2-(2x-1)^{2} a de cima.

Passo 3

Montamos a integral da área como diferença entre as curvas superior e inferior:

Passo 4

A=integral1/2^1l[2-(2x-1)^2-x^2r],dx
Expandindo o integrando:

Passo 5

2-(4x^2-4x+1)-x^2=1-5x^2+4x

Passo 6

Calculamos então a integral:
integral(1-5x^2+4x),dx=x-tfrac53x^3+2x^2+C
Avaliaremos de x=1/2 até x=1:

Passo 7

Para x=1 temos
1-tfrac53+2=tfrac43,
e para x=1/2:
tfrac12 -tfrac53cdottfrac18+2cdottfrac14=1-tfrac524=tfrac1924
Fazendo a diferença A=4/3-19/24=13/24.

Resposta

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