O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, mais precisamente 4y’’ – 8y’ + 3y = 0, com y(0)=2 e y’(0)=1/2. Vamos usar a teoria de equações características para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes às condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{rt}, logo temos:
4r^2 - 8r + 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática utilizamos o discriminante Δ=(-8)^2-4·4·3=64-48=16, de modo que r = 8 pm raiz168 = 8 pm 48
Isso dá as raízes
r1 = 128 = 32, r2 = 48 = 12
Passo 3
Com as raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral é
y(t) = C1 e^32 t + C2 e^12 t
Para determinar C_1 e C_2, aplicamos as condições iniciais.
Passo 4
Da condição y(0)=2 vem:
y(0) = C1 + C2 = 2
Da condição y’(0)=1/2 primeiro calculamos y'(t) = 32 C1 e^32 t + 12 C2 e^12 t,
logo em t=0:
y'(0) = 32 C1 + 12 C2 = 12
Multiplicando esta última por 2 obtemos 3C_1 + C_2 = 1.
Passo 5
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2,3C1 + C2 = 1,
subtraímos a primeira da segunda e achamos 2C_1 = -1 ⇒ C_1 = -\tfrac12. Em seguida C_2 = 2 - C_1 = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.
Passo 6
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, concluímos que a solução do problema de valor inicial é