(10 pontos) Verifique se o vetor \vec{u}=(-2,2,1) é combinação linear dos vetores \vec{v}=(1,0,-1), \vec{w}=(2,-3,1) e \vec{p}=(5,-4,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec{u}=(-2,2,1) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v}=(1,0,-1), \vec{w}=(2,-3,1) e \vec{p}=(5,-4,0). O conteúdo aqui é espaço vetorial em \mathbb{R}^3 e a condição de combinação linear, que exige resolver um sistema linear para achar escalares a,b,c tais que
a\vec{v} + b\vec{w} + c\vec{p} = \vec{u}.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, buscamos a,b,c tais que
a(1,0,-1) + b(2,-3,1) + c(5,-4,0) = (-2,2,1).
Isto gera o sistema
\begin{cases} a + 2b + 5c = -2,\\\\ -3b - 4c = 2,\\\\ -\,a + b = 1. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação temos
-\,a + b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = a + 1.
Substituindo em -3b - 4c = 2 fica
-3(a+1) - 4c = 2 \quad\Longrightarrow\quad -3a - 3 - 4c = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3a + 4c = -5.
Da primeira equação, com b=a+1, obtemos
a + 2(a+1) + 5c = -2 \quad\Longrightarrow\quad 3a + 2 + 5c = -2 \quad\Longrightarrow\quad 3a + 5c = -4.
Agora subtraindo as duas últimas equações:
(3a+5c)-(3a+4c) = -4 - (-5) \quad\Longrightarrow\quad c = 1.
Com c=1 em 3a+4c=-5
3a + 4 = -5 \quad\Longrightarrow\quad 3a = -9 \quad\Longrightarrow\quad a = -3.
Finalmente b = a + 1 = -3 + 1 = -2.

Passo 4

Encontramos (a,b,c)=(-3,-2,1), logo
\vec{u} = -3\,\vec{v} \;-\;2\,\vec{w} \;+\;1\,\vec{p}.
Isso mostra que \vec{u} é combinação linear de \vec{v},\vec{w},\vec{p}.

Resposta

Sim. Em particular,
\vec{u} = -3\,\vec{v} \;-\;2\,\vec{w} \;+\;\vec{p}.

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