( 10 pontos) Determine a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse com vértices
.
Passo 1
O enunciado pede a área de um quadrado de lados paralelos aos eixos, inscrito numa elipse centrada na origem, cujos vértices principais são
,
,
e
.
O conteúdo principal é geometria analítica de elipse e quadrado inscrito.
O conteúdo principal é geometria analítica de elipse e quadrado inscrito.
Passo 2
A elipse tem semi-eixo maior
e menor
. Sua equação é
que simplifica para
Passo 3
Um quadrado inscrito e com lados paralelos aos eixos, centrado na origem, tem vértices
,
,
,
.
O lado do quadrado vale .
O lado do quadrado vale
Passo 4
Cada vértice
deve satisfazer a equação da elipse, logo
Passo 5
O lado do quadrado é
, portanto a área é
Resposta
A área do quadrado inscrito é
.