( 10 pontos) Determine a área do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse com vértices A 1=\left(\frac{10}{3}, 0\right), A 2=\left(-\frac{10}{3}, 0\right), B 1=\left(0, \frac{10}{4}\right), B 2=\left(0,-\frac{10}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede a área de um quadrado de lados paralelos aos eixos, inscrito numa elipse centrada na origem, cujos vértices principais são \displaystyle A_1\!\bigl(\tfrac{10}{3},0\bigr), \displaystyle A_2\!\bigl(-\tfrac{10}{3},0\bigr), \displaystyle B_1\!\bigl(0,\tfrac{10}{4}\bigr) e \displaystyle B_2\!\bigl(0,-\tfrac{10}{4}\bigr).
O conteúdo principal é geometria analítica de elipse e quadrado inscrito.

Passo 2

A elipse tem semi-eixo maior a=10/3 e menor b=10/4. Sua equação é
\frac{x^2}{(10/3)^2}+\frac{y^2}{(10/4)^2}=1,
que simplifica para
9x^2+16y^2=100.

Passo 3

Um quadrado inscrito e com lados paralelos aos eixos, centrado na origem, tem vértices (h,h), (h,-h), (-h,h), (-h,-h).
O lado do quadrado vale 2h.

Passo 4

Cada vértice (h,h) deve satisfazer a equação da elipse, logo
9h^2+16h^2=100
25h^2=100
h^2=4 \quad\Longrightarrow\quad h=2.

Passo 5

O lado do quadrado é 2h=4, portanto a área é
\text{Área}=(2h)^2=4^2=16.Á

Resposta

A área do quadrado inscrito é 16.

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