Questão 4. Mostre que os cinco pontos A(1,0,2), B(3,0,4), C(3,2,4), D(2,3,3) e E(1,2,2) estão no mesmo plano. Encontre a equação cartesiana deste plano.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,0,2), B(3,0,4), C(3,2,4), D(2,3,3) e E(1,2,2) e pede para mostrar que eles são coplanares e encontrar a equação do plano.
Conteúdo: vetores em \mathbb{R}^3 e produto vetorial para obter o vetor normal ao plano.

Passo 2

Escolhemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}$ a partir de \(A: \displaystyle \overrightarrow{AB} = (3-1,\;0-0,\;4-2) = (2,0,2), \displaystyle \overrightarrow{AC} = (3-1,\;2-0,\;4-2) = (2,2,2).)

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado por
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & 2 \\\\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-4,0,4).
Podemos simplificar para \mathbf{n}=(-1,0,1).

Passo 4

A equação cartesiana do plano com normal \mathbf{n}=(-1,0,1) passando por A(1,0,2) é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(1,0,2)\bigr)=0
ou seja
-1\,(x-1)+0\,(y-0)+1\,(z-2)=0
que simplifica para
-x+1+z-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x - z + 1 = 0.

Passo 5

Basta verificar que D e E satisfazem x - z + 1=0:
Para D(2,3,3): 2-3+1=0.
Para E(1,2,2): 1-2+1=0.
Logo D e E também estão nesse mesmo plano, e os cinco pontos são coplanares.

Resposta

A equação cartesiana do plano que contém A,B,C,D,E é
x - z + 1 = 0.

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