(10 pontot) Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral c^x raiz1+e^x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral c^x raiz1+e^x , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente as técnicas de Substituição e Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como manipular exponenciais e funções compostas, aplicando uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão c^x. Lembrando que qualquer exponencial c^x pode ser reescrita como e^x ln c. Assim, a integral fica:
integral e^x ln c raiz1+e^x , dx

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = 1 + e^x. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = e^x
Isso implica que dx = due^x. Como e^x = u - 1, substituímos na expressão de dx:
dx = duu - 1

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original:
integral e^x ln c raizu cdot duu - 1
Sabemos que e^x ln c = c^x. Porém, ainda temos c^x em termos de u. Como u = 1 + e^x, podemos expressar c^x em termos de u:
c^x = e^x ln c = (u - 1)^ln c

Passo 5

Agora, substituímos c^x na integral:
integral (u - 1)^ln c raizu cdot duu - 1
Simplificando, temos:
integral (u - 1)^ln c - 1 cdot u^1/2 , du

Passo 6

Para integrar essa expressão, podemos combinar as potências de u:
(u - 1)^ln c - 1 cdot u^1/2 = u^1/2 cdot (u - 1)^ln c - 1
Dependendo do valor de c, essa integral pode não ter uma solução em termos de funções elementares. No entanto, para fins de exercício, assumimos que podemos expressar a integral em termos de funções especiais ou deixá-la na forma definida.

Resposta

A integral integral c^x raiz1+e^x , dx não possui uma antiderivada expressa em termos de funções elementares padrão. Portanto, a solução permanece expressa na forma integral ou requer o uso de funções especiais para sua representação.

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