Determine a área da superfície de revolução gerada pela função abaixo, em torno do eixo x.
y=e^x+e^-a2, 0 <= x <= ln 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a área da superfície gerada quando a função $ y = \frac{e^{x} + e^{-a}}{2} $ é girada em torno do eixo $ x $ no intervalo de $ 0 $ a $ \ln 2 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ x $. A fórmula é:
x
Aqui, $ y $ é a função que está sendo girada, e $ \frac{dy}{dx} $ é a sua derivada em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos identificar os valores de $ a $ e $ b $ no nosso caso. Pelo enunciado, $ a = 0 $ e $ b = \ln 2 $. E nossa função é $ y = \frac{e^{x} + e^{-a}}{2} $.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Vamos fazer isso passo a passo:
y
Derivando em relação a $ x $:
x
Note que $ e^{-a} $ é uma constante em relação a $ x $, então sua derivada é zero.

Passo 5

Com a derivada em mãos, vamos calcular $ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 $:
1 + ( dydx )^2

Passo 6

Agora, vamos substituir $ y $ e $ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} $ na fórmula da área:
y
Simplificando a raiz:
raiz1 + ( dydx )^2
Então, a expressão fica:
A = 2pi integral0^ln 2 e^x + e^-a2 cdot raiz4 + e^2x4 , dx

Passo 7

Esse integral pode ser complicado de resolver analiticamente, mas podemos simplificar substituindo $ u = e^{x} $. Assim, $ du = e^{x} dx $ e os limites de integração mudam para $ u = 1 $ quando $ x = 0 $ e $ u = 2 $ quando $ x = \ln 2 $.
Substituindo na integral:
u = e^x
Simplificando:
du = e^x dx

Passo 8

Agora, a gente divide o integral em duas partes:
A = pi2 ( integral1^2 raiz4 + u^2 , du + e^-a integral1^2 raiz4 + u^2u , du )
Esses integrais podem ser resolvidos usando técnicas de integração por partes ou substituições específicas, mas para simplificar, podemos deixar a resposta em termos de integrais definidos.

Resposta

A área da superfície de revolução é dada por:
A = pi2 ( integral1^2 raiz4 + u^2 , du + e^-a integral1^2 raiz4 + u^2u , du )

Exercícios relacionados