Determine a área da superfície de revolução gerada pela função abaixo, em torno do eixo x.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a área da superfície gerada quando a função $ y = \frac{e^{x} + e^{-a}}{2} $ é girada em torno do eixo $ x $ no intervalo de $ 0 $ a $ \ln 2 $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ x $. A fórmula é:
Aqui, $ y $ é a função que está sendo girada, e $ \frac{dy}{dx} $ é a sua derivada em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos identificar os valores de $ a $ e $ b $ no nosso caso. Pelo enunciado, $ a = 0 $ e $ b = \ln 2 $. E nossa função é $ y = \frac{e^{x} + e^{-a}}{2} $.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Vamos fazer isso passo a passo:
Derivando em relação a $ x $:
Note que $ e^{-a} $ é uma constante em relação a $ x $, então sua derivada é zero.
Passo 5
Com a derivada em mãos, vamos calcular $ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ y $ e $ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} $ na fórmula da área:
Simplificando a raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Esse integral pode ser complicado de resolver analiticamente, mas podemos simplificar substituindo $ u = e^{x} $. Assim, $ du = e^{x} dx $ e os limites de integração mudam para $ u = 1 $ quando $ x = 0 $ e $ u = 2 $ quando $ x = \ln 2 $.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a gente divide o integral em duas partes:
Esses integrais podem ser resolvidos usando técnicas de integração por partes ou substituições específicas, mas para simplificar, podemos deixar a resposta em termos de integrais definidos.
Resposta
A área da superfície de revolução é dada por: