(10 pontot) Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. O conteúdo aqui envolve integração por substituição, que é uma técnica usada quando temos funções compostas. Vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável nova para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão
, percebemos que o que está dentro do parênteses pode ser uma boa escolha para substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Passo 4
Com a substituição feita, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
. Vamos integrar
em relação a
usando a regra da potência para integrais, que diz que
, onde
é a constante de integração.
Aplicando a regra:
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral indefinida é: