(10 pontot) Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral x(4+x^2)^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral x(4 + x^2)^10 dx. O conteúdo aqui envolve integração por substituição, que é uma técnica usada quando temos funções compostas. Vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável nova para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão (4 + x^2)^10, percebemos que o que está dentro do parênteses pode ser uma boa escolha para substituição. Vamos definir:
u = 4 + x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Calculando a derivada:
dudx = 2x implies du = 2x,dx
Isso significa que:
x,dx = du2

Passo 4

Com a substituição feita, substituímos u e x,dx na integral original:
integral x(4 + x^2)^10 dx = integral (u)^10 cdot du2 = 12 integral u^10 du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: 12 integral u^10 du. Vamos integrar u^10 em relação a u usando a regra da potência para integrais, que diz que integral u^n du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando a regra:
12 cdot u^1111 + C = u^1122 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = 4 + x^2:
(4 + x^2)^1122 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x(4 + x^2)^10 dx = (4 + x^2)^1122 + C

Exercícios relacionados