(10 pontot) Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a Regra da Substituição ou Integração por Partes:
integral c^sin theta cos theta d theta

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida integral c^sin theta cos theta , dtheta. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Substituição, que é uma técnica para simplificar integrais onde uma função está dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de u. Olhando para a integral integral c^sin theta cos theta , dtheta, vemos que c^sin theta é uma função composta, onde sin theta está no expoente.
Vamos definir:
u = sin theta

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a theta para encontrar du:
dudtheta = cos theta
du = cos theta , dtheta

Passo 4

Observamos que cos theta , dtheta aparece na nossa integral original, que é exatamente du. Então, podemos substituir na integral:
integral c^sin theta cos theta , dtheta = integral c^u , du

Passo 5

Agora, precisamos integrar c^u em relação a u. A integral de uma exponencial com base diferente de e é:
integral a^u , du = a^uln a + C
Onde a é uma constante positiva diferente de 1 e C é a constante de integração.
No nosso caso, a = c, então:
integral c^u , du = c^uln c + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = sin theta:
c^uln c + C = c^sin thetaln c + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral c^sin theta cos theta , dtheta = c^sin thetaln c + C

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