Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), t >= 0. Determine x=x(t), sabendo que
d xd t=1t+1t^2, x(1)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a velocidade dxdt=1t+1t^2 para t>=0 e a condição inicial x(1)=1. O assunto é integração de funções de potência e logaritmo natural para obter a função posição.

Passo 2

Para resolver, integramos ambos os lados da equação diferencial em relação a t:
x(t)=integrall(1t+1t^2r)dt=integral1tdt+integral t^-2dt=ln t-1t+C

Passo 3

Aplicando a condição inicial, substituímos t=1 em x(t)=ln t-1t+C:
x(1)=ln1-1+C=1
Como ln1=0, fica -1+C=1 e portanto C=2.

Passo 4

Substituindo C=2 de volta na expressão geral, obtemos a fórmula final para a posição.

Resposta

x(t)=ln t-tfrac1t+2

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