Calcule a derivada das seguintes funções
g(x)=integralraizx^x^4 raizt sen(t) d t

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=integralraizx^x^4raizt,sin(t),dt. O conteúdo principal é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites que dependem de x e depois aplicar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se g(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt então a derivada é Aqui temos g'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x), f(t)=raizt,sin(t) e a(x)=raizx.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites: b(x)=x^4 b'(x)=4x^3. E a(x)=raizx=x^1/2

Passo 4

Substituindo em g'(x)=f(b(x)),b'(x)-f(a(x)),a'(x) obtemos:
g'(x)=lraizx^4,sin(x^4)rcdot(4x^3)-lraizraizx,sin(raizx)rcdot12raizx
Agora simplificamos: para x>=0, raizx^4=x^2 e raizraizx=x^1/4. Logo
g'(x)=4x^3cdot x^2sin(x^4)-x^1/4sin(raizx)cdot12x^1/2
Multiplicando e simplificando potências: 4x^3cdot x^2=4x^5 e x^1/4/(2x^1/2)=1/(2x^1/4). Assim chegamos a

Resposta

g'(x)=4x^5,sin(x^4)-sin(raizx)2x^1/4

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