Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite dado em cada item. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 f(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes limites quando x\to 2:
\lim_{x\to 2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to 2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\to 2} h(x)=0.
O que se pede neste item é calcular, se existir,
\lim_{x\to 2} \frac{3\,f(x)}{g(x)}.

Passo 2

Lembrete das regras de limite que vamos usar (explicadas de forma prática).
  • Regra da constante: se c é uma constante real e \lim_{x\to a} u(x)=L existe, então
\lim_{x\to a} c\,u(x)=c\cdot L.
Aqui cada símbolo significa: u(x) é uma função qualquer, a é o ponto onde x se aproxima, L é o número limite, e c multiplica a função.
  • Regra do quociente: se \lim_{x\to a} u(x)=L e \lim_{x\to a} v(x)=M existem e M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{u(x)}{v(x)}=\frac{L}{M}.
Importante: a condição M\neq 0 é essencial — se o limite do denominador for zero, não se pode aplicar a regra e o limite pode não existir ou exigir análise mais cuidadosa.
Essas regras resultam da linearidade dos limites e da definição: quando u(x) fica arbitrariamente perto de L e v(x) fica arbitrariamente perto de M\neq0, a razão u(x)/v(x) fica arbitrariamente perto de L/M.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso:
  • Primeiro apliquei a regra da constante à função f: como \lim_{x\to 2} f(x)=4 e a constante é 3, temos
\lim_{x\to 2} 3\,f(x)=3\cdot 4=12.
  • Agora usei a regra do quociente com u(x)=3f(x) e v(x)=g(x). Temos \lim_{x\to 2} u(x)=12 e \lim_{x\to 2} v(x)=-2. A condição do denominador é satisfeita porque -2\neq 0. Portanto
\lim_{x\to 2} \frac{3\,f(x)}{g(x)}=\frac{12}{-2}=-6.

Passo 4

Comentário final rápido e motivador: a única coisa que podia atrapalhar seria se \lim_{x\to 2} g(x) fosse 0. Como aqui \lim_{x\to 2} g(x)=-2 (não-zero), a aplicação das regras é segura e o cálculo é direto. Bom trabalho — você já está acostumando o cérebro a usar as regras com calma!

Resposta

-6

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