10 (a) Prove o teorema do virial tridimensional:
(para estados estacionários).
Dica: consulte o Problema 3.31 da Ref. [1].
(b) Aplique o teorema do virial ao caso do hidrogênio e demonstre que
(c) Aplique o teorema do virial ao oscilador harmônico tridimensional e demonstre quo, nesse caso,
Dica: consulte o Problema 3.31 da Ref. [1].
(b) Aplique o teorema do virial ao caso do hidrogênio e demonstre que
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Provar o teorema do virial tridimensional
valendo para estados estacionários de um sistema quântico com Hamiltoniano
.
- (b) Aplicar esse teorema ao átomo de hidrogênio, cujo potencial é
(com ), e demonstrar as relações
onde
é o autovalor de energia do estado ligado.
- (c) Aplicar o teorema ao oscilador harmônico tridimensional com
e demonstrar
Informações e símbolos que usarei:
- A expectativa de um operador
em um estado estacionário é . - O operador momento é
e vale a relação canônica . - A energia cinética quântica é
. - Vou usar a equação de movimento de Heisenberg para a expectativa de um operador
:
e o fato de que, para estados estacionários (autovetores de
),
.
Passo 2
Escolha do operador
. Para obter uma relação entre energia cinética e propriedades do potencial é conveniente tomar o gerador “virial” simetrizado
Comentário didático curto: a simetrização evita problemas de ordenamento (pois
e
não comutam). Operadores simetrizados garantem que
seja Hermitiano, o que facilita trabalhar com expectativas reais.
Aplicação da equação de Heisenberg:
Como vamos considerar estados estacionários,
, logo precisaremos calcular
e igualar a zero.
Passo 3
Calcular o comutador
. Escrevendo
temos
Vou calcular separadamente os dois termos. Antes, lembro a identidade útil e simples em índice (soma de índices implícita):
e portanto
.
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro obtenho
, com
:
Usando
obtemos
Agora
De maneira análoga (ou repetindo o cálculo) verifica-se
Como
segue
Corrigindo a conta (fazendo a soma correta): os dois termos somam
; multiplicando por
dá
Portanto
Passo 5
Cálculo de
. Uso a representação ou a identidade de comutador
, válida porque
na representação de posição. Explicando: para qualquer função escalar
,
portanto como operador
. Então
Analogamente para
. Assim, com a média dos dois:
Passo 6
Juntando os resultados em
:
Agora uso a equação de Heisenberg para a expectativa:
Para um estado estacionário,
, então
Multiplicando ambos os lados por
e recordando
obtemos o teorema do virial desejado:
Isto completa a prova do item (a).
Passo 7
Aplicação ao hidrogênio (item b). Para o potencial coulombiano do hidrogênio escrevemos
Como
depende apenas de
, podemos usar
. Calculando a derivada radial:
Portanto
Substituindo no teorema do virial
Logo
A energia total do estado é
. Portanto
E substituindo em
obtemos
(Isto é consistente com
para estados ligados do hidrogênio, de modo que
e
.)
Passo 8
Aplicação ao oscilador harmônico tridimensional (item c). Aqui
Calculamos
. Como
segue
Inserindo no teorema do virial:
portanto
A energia total
, daí
como pedido.
Resposta
(a)
(b)
(c)