10 (a) Prove o teorema do virial tridimensional:
2\langle T\rangle=\langle\mathbf{r} \cdot \nabla V\rangle
(para estados estacionários).
Dica: consulte o Problema 3.31 da Ref. [1].
(b) Aplique o teorema do virial ao caso do hidrogênio e demonstre que
\langle T\rangle=-E_{N}, \quad\langle V\rangle=2 E_{n}
(c) Aplique o teorema do virial ao oscilador harmônico tridimensional e demonstre quo, nesse caso,
\langle T\rangle=\langle V\rangle=E_{n} / 2

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Provar o teorema do virial tridimensional
2\langle T\rangle=\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V\rangle
valendo para estados estacionários de um sistema quântico com Hamiltoniano H=\dfrac{\mathbf{p}^{2}}{2m}+V(\mathbf{r}).
  • (b) Aplicar esse teorema ao átomo de hidrogênio, cujo potencial é V(\mathbf{r})=-\dfrac{k}{r} (com k>0), e demonstrar as relações
\langle T\rangle=-E_{n},\qquad \langle V\rangle=2E_{n},
onde E_{n} é o autovalor de energia do estado ligado.
  • (c) Aplicar o teorema ao oscilador harmônico tridimensional com V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}r^{2} e demonstrar
\langle T\rangle=\langle V\rangle=\dfrac{E_{n}}{2}.
Informações e símbolos que usarei:
  • A expectativa de um operador A em um estado estacionário |\psi\rangle é \langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.
  • O operador momento é \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z) e vale a relação canônica \bigl[x_i,p_j\bigr]=i\hbar\,\delta_{ij}.
  • A energia cinética quântica é T=\dfrac{\mathbf{p}^{2}}{2m}.
  • Vou usar a equação de movimento de Heisenberg para a expectativa de um operador G:
\frac{d}{dt}\langle G\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle [H,G]\rangle,
e o fato de que, para estados estacionários (autovetores de H), \dfrac{d}{dt}\langle G\rangle=0.

Passo 2

Escolha do operador G. Para obter uma relação entre energia cinética e propriedades do potencial é conveniente tomar o gerador “virial” simetrizado
G=\frac{1}{2}\bigl(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\bigr).
Comentário didático curto: a simetrização evita problemas de ordenamento (pois \mathbf{r} e \mathbf{p} não comutam). Operadores simetrizados garantem que G seja Hermitiano, o que facilita trabalhar com expectativas reais.
Aplicação da equação de Heisenberg:
\frac{d}{dt}\langle G\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[H,G]\rangle.
Como vamos considerar estados estacionários, \dfrac{d}{dt}\langle G\rangle=0, logo precisaremos calcular \langle[H,G]\rangle e igualar a zero.

Passo 3

Calcular o comutador [H,G]. Escrevendo H=\dfrac{\mathbf{p}^{2}}{2m}+V(\mathbf{r}) temos
[H,G]=\left[\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m},G\right]+[V,G].
Vou calcular separadamente os dois termos. Antes, lembro a identidade útil e simples em índice (soma de índices implícita): \bigl[p_i,x_j\bigr]=-i\hbar\delta_{ij} e portanto \bigl[x_j,p_i\bigr]=i\hbar\delta_{ij}.

Passo 4

Cálculo de \bigl[\mathbf{p}^{2},\,G\bigr]. Primeiro obtenho \bigl[\mathbf{p}^{2},r_k\bigr], com \mathbf{p}^{2}=p_i p_i:
\bigl[\mathbf{p}^{2},r_k\bigr]=p_i\bigl[p_i,r_k\bigr]+\bigl[p_i,r_k\bigr]p_i.
Usando \bigl[p_i,r_k\bigr]=-i\hbar\delta_{ik} obtemos
\bigl[\mathbf{p}^{2},r_k\bigr]=-i\hbar p_k - i\hbar p_k = -2i\hbar\,p_k.
Agora
\bigl[\mathbf{p}^{2},\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}\bigr]=\bigl[\mathbf{p}^{2},r_k\bigr]p_k = (-2i\hbar p_k)p_k = -2i\hbar\,\mathbf{p}^{2}.
De maneira análoga (ou repetindo o cálculo) verifica-se
\bigl[\mathbf{p}^{2},\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\bigr]=-2i\hbar\,\mathbf{p}^{2}.
Como G=\tfrac{1}{2}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}+\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}) segue
\bigl[\mathbf{p}^{2},G\bigr]=\frac{1}{2}\bigl(\bigl[\mathbf{p}^{2},\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}\bigr]+\bigl[\mathbf{p}^{2},\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\bigr]\bigr)=-2i\hbar\,\mathbf{p}^{2}\cdot\frac{1}{2}=-2i\hbar\,\mathbf{p}^{2}\cdot\frac{1}{2}?
Corrigindo a conta (fazendo a soma correta): os dois termos somam -2i\hbar\mathbf{p}^{2} + -2i\hbar\mathbf{p}^{2} = -4i\hbar\mathbf{p}^{2}; multiplicando por 1/2
\bigl[\mathbf{p}^{2},G\bigr]=-2i\hbar\,\mathbf{p}^{2}.
Portanto
\left[\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m},G\right]=\frac{1}{2m}\bigl[\mathbf{p}^{2},G\bigr]=\frac{1}{2m}\bigl(-2i\hbar\,\mathbf{p}^{2}\bigr)=-i\hbar\frac{\mathbf{p}^{2}}{m}.

Passo 5

Cálculo de [V,G]. Uso a representação ou a identidade de comutador [V,p_k]=i\hbar\,\partial_k V, válida porque p_k=-i\hbar\partial_k na representação de posição. Explicando: para qualquer função escalar V(\mathbf{r}),
[V,p_k]\psi = V(-i\hbar\partial_k)\psi - (-i\hbar\partial_k)(V\psi)=i\hbar(\partial_k V)\psi,
portanto como operador [V,p_k]=i\hbar\,\partial_k V. Então
[V,\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}]=r_k[V,p_k]=i\hbar\,r_k\partial_k V=i\hbar\,\mathbf{r}\cdot\nabla V.
Analogamente para [V,\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}]. Assim, com a média dos dois:
[V,G]=\frac{1}{2}\bigl([V,\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}]+[V,\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}]\bigr)=i\hbar\,\mathbf{r}\cdot\nabla V.

Passo 6

Juntando os resultados em [H,G]:
[H,G]=\left[\frac{\mathbf{p}^{2}}{2m},G\right]+[V,G]=-i\hbar\frac{\mathbf{p}^{2}}{m}+i\hbar\,\mathbf{r}\cdot\nabla V = i\hbar\left(\mathbf{r}\cdot\nabla V-\frac{\mathbf{p}^{2}}{m}\right).
Agora uso a equação de Heisenberg para a expectativa:
\frac{d}{dt}\langle G\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[H,G]\rangle=\frac{i}{\hbar}\,i\hbar\Big\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V-\frac{\mathbf{p}^{2}}{m}\Big\rangle = -\Big\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V-\frac{\mathbf{p}^{2}}{m}\Big\rangle.
Para um estado estacionário, \dfrac{d}{dt}\langle G\rangle=0, então
\Big\langle\frac{\mathbf{p}^{2}}{m}\Big\rangle=\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V\rangle.
Multiplicando ambos os lados por 1/2 e recordando \langle T\rangle=\big\langle\dfrac{\mathbf{p}^{2}}{2m}\big\rangle obtemos o teorema do virial desejado:
2\langle T\rangle=\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V\rangle.
Isto completa a prova do item (a).

Passo 7

Aplicação ao hidrogênio (item b). Para o potencial coulombiano do hidrogênio escrevemos
V(\mathbf{r})=-\frac{k}{r},\qquad r=|\mathbf{r}|.
Como V depende apenas de r, podemos usar \mathbf{r}\cdot\nabla V = r\,\dfrac{dV}{dr}. Calculando a derivada radial:
\frac{dV}{dr}=\frac{d}{dr}\Big(-\frac{k}{r}\Big)=\frac{k}{r^{2}}.
Portanto
\mathbf{r}\cdot\nabla V = r\cdot\frac{k}{r^{2}}=\frac{k}{r}=-V(\mathbf{r}).
Substituindo no teorema do virial
2\langle T\rangle=\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V\rangle=\langle -V\rangle = -\langle V\rangle.
Logo
\langle V\rangle=-2\langle T\rangle.
A energia total do estado é \,E_n=\langle T\rangle+\langle V\rangle=\langle T\rangle-2\langle T\rangle=-\langle T\rangle. Portanto
\langle T\rangle=-E_{n}.
E substituindo em \langle V\rangle=-2\langle T\rangle obtemos
\langle V\rangle=2E_{n}.
(Isto é consistente com E_n<0 para estados ligados do hidrogênio, de modo que \langle T\rangle>0 e \langle V\rangle<0.)

Passo 8

Aplicação ao oscilador harmônico tridimensional (item c). Aqui
V(\mathbf{r})=\frac{1}{2}m\omega^{2}r^{2}.
Calculamos \mathbf{r}\cdot\nabla V. Como \nabla(r^{2})=2\mathbf{r} segue
\mathbf{r}\cdot\nabla V=\mathbf{r}\cdot\left(\frac{1}{2}m\omega^{2}\cdot 2\mathbf{r}\right)=m\omega^{2}r^{2}=2V(\mathbf{r}).
Inserindo no teorema do virial:
2\langle T\rangle=\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V\rangle=\langle 2V\rangle = 2\langle V\rangle,
portanto
\langle T\rangle=\langle V\rangle.
A energia total E_{n}=\langle T\rangle+\langle V\rangle=2\langle T\rangle, daí
\langle T\rangle=\langle V\rangle=\frac{E_{n}}{2},
como pedido.

Resposta

(a) 2\langle T\rangle=\langle\mathbf{r}\cdot\nabla V\rangle
(b) \langle T\rangle=-E_{n}
\langle V\rangle=2E_{n}
(c) \langle T\rangle=\langle V\rangle=\dfrac{E_{n}}{2}

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