11 A função de onda (independente do tempo) no espaço de momento em três dimensões é finida pela generalização natural da Equação 3.54:
(a) Calcule a função de onda no espaço de momento para o estado fundamental do hidrogênio (Equação 4.80 da Ref. [1]).
Dica: use coordenadas esféricas, escolhendo o eixo polar na direção de
. Resolva a integral em
primeiro.
Resposta:
(b) Certifique-se de que
esteja normalizada.
(c) Use
para calcular
no estado fundamental do hidrogênio. Qual é o valor esperado da energia cinética nesse estado? Expresse sua resposta como múltiplo de
. e verifique se ela é coerente com o teorema do virial.
Dica: use coordenadas esféricas, escolhendo o eixo polar na direção de
Resposta:
(c) Use
Passo 1
O enunciado pede três coisas e dá a transformada de Fourier tridimensional da função de onda no espaço de momento:
As solicitações são:
(a) Calcular para o estado fundamental do hidrogênio, cujo autoestado espacial é (estado
):
(a) Calcular
onde
é o raio de Bohr.
(b) Verificar que está normalizada, ou seja
(b) Verificar que
(c) Calcular
usando
e, a partir disso, obter o valor esperado da energia cinética
. Expressar
como múltiplo de
(energia total do estado fundamental) e comparar com o teorema do virial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Fórmula da transformada de Fourier em 3D já dada.
- Função de onda no espaço real do estado fundamental:
. - Devemos usar coordenadas esféricas escolhendo o eixo polar na direção de
(isso simplifica o produto escalar ) e integrar em primeiro.
Passo 2
Escolha de coordenadas e redução angular — por que e como fazer:
- Como a função
depende só de (é esféricamente simétrica) e o fator da transformada tem , é muito conveniente usar coordenadas esféricas com o eixo polar ( ) alinhado com . - O elemento de volume é
. - A integral angular em
(o ângulo azimutal) é imediata porque nada depende de : . - A integral em
é a conhecida integral que gera a função sinc esférica:
(É fácil ver isso fazendo a substituição
ou reconhecendo a integral para funções esféricas.)
Portanto a transformada fica (substituindo
e tomando as integrais angulares):
Vou agora simplificar constantes e a integral radial.
Passo 3
Simplificação de constantes e preparação da integral radial:
- Juntando fatores constantes:
. Assim
- Simplifico a constante global. Faço passo a passo:
Então
(Detalhe: a simplificação dá
.)
- A integral radial a avaliar é
onde introduzi
para simplificar a notação.
Passo 4
Avaliação da integral radial usando uma integral padrão:
- Vou calcular
com . Essa integral é conhecida e pode obter-se por integração por partes ou transformada de Laplace; o resultado é
Posso mostrar rapidamente por integração por partes: escreva a transformada de
e use identidade para senos, mas aqui uso o resultado padrão (é uma integral elementar que aparece em tabelas).
- Assim, lembrando que
, temos
- Substituindo
e ,
Fazendo manipulação algébrica conveniente:
portanto
Passo 5
Obtenção da forma final de
:
- Voltando à expressão de
com a constante global calculada no Passo 3:
- Combine os fatores numéricos e de potência de
e :
Porém podemos simplificar: observe que
, e já tínhamos essa forma — é melhor apresentar numa forma mais compacta e habitual, agrupando
:
Voltando à forma mais compacta e convencional (reorganizando para ficar simples e reconhecível):
(Equivalente — via constantes multiplicativas reagrupadas — às formas que aparecem em diferentes livros; a dependência em
é o fator
.)
Passo 6
Verificação da normalização (parte b) — procedimento e cálculo:
- Queremos mostrar que
Como
depende só de
, usamos coordenadas esféricas em
-espaço:
- Substitua
com e . Então . - Faça a mudança de variável
. Então e . - A integral torna-se
- Calcule a integral
. Usa-se uma fórmula com Beta/Gamma:
Aqui
e
, então
Usando
,
,
e
, obtém-se
. Portanto
- Agora calcule o coeficiente numérico:
- Multiplicando pelo valor de
dá exatamente . Conclusão:
logo
está corretamente normalizada.
Passo 7
Cálculo de
usando
(parte c):
- A definição é
- Usamos a mesma substituição
e os mesmos passos algébricos que antes. Com como acima,
- A integral
pode ser calculada com a mesma fórmula Beta: agora
,
, dando
Mas
(a Beta é simétrica), então
.
- Substituindo os valores numéricos:
Simplificando (sem pular etapas):
Portanto
Passo 8
Energia cinética esperada e relação com
(teorema do virial):
- A energia cinética média é
- Agora relacionar com a energia total do estado fundamental
. Usando as constantes de Bohr, o raio de Bohr é
e a energia do estado fundamental é
Substituindo
em
dá (fazendo a conta):
Logo
- Isto é exatamente o que prevê o teorema do virial para o potencial coulombiano
: para o teorema do virial dá ; no caso Coulomb e, para estados ligados, resulta em e . Portanto o resultado está coerente com o teorema do virial.
Resposta
(a)
(b)
(c)
\