3 Considere o oscilador harmônico tridimensional para o qual o potencial é
(a) Demonstre que a separação de variáveis em coordenadas cartesianas transforma isso em três osciladores unidimensionais e explore seu conhecimento do último para determinar as energias permitidas.
Resposta:
(b) Determine a degenerescência
de
.
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá o potencial do oscilador harmônico tridimensional
onde
. As perguntas são:
- (a) Mostrar que, ao separar variáveis em coordenadas cartesianas, o problema se reduz a três osciladores unidimensionais e, a partir disso, determinar os níveis de energia permitidos (a resposta esperada indicada é
). - (b) Determinar a degenerescência
do nível de energia .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- massa
e frequência angular constantes; - potencial isotrópico quadrático (depende só de
); - quer-se a forma dos autovalores de energia e a degenerescência associada a cada nível.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger dependente do tempo nulo (equação independente do tempo) para a função de onda
e energia
, o Hamiltoniano é
portanto a equação de autovalores é
Aqui
é o laplaciano. É importante notar que o potencial pode ser escrito como soma de termos que dependem de cada coordenada:
Passo 3
Motivação da separação: quando o potencial é soma de funções que dependem de uma única coordenada, uma boa ansatz é assumir que a função de onda fatoriza:
Substituindo esse produto na equação de Schrödinger e dividindo por
obtém-se
Reagrupando termos por variáveis independentes dá
Cada um dos três termos depende apenas de uma variável distinta. Para que essa soma seja uma constante
para todo
, cada termo deve ser uma constante própria separada. Chamemos essas constantes de
,
e
, com
Isso produz três equações ordinárias unidimensionais (uma para cada coordenada):
Cada uma é exatamente a equação do oscilador harmônico unidimensional para a respectiva função de onda e energia parcial.
Passo 4
Conhecimento do oscilador harmônico unidimensional: a equação
possui soluções normalizáveis somente para energias quantizadas
onde
é o número quântico associado àquela direção (por exemplo
para
). (Métodos de obtenção: operadores escalonadores (“ladder operators”) ou solução pela redução à equação de Hermite; não é necessário refazer aqui o desenvolvimento, mas é importante saber que esse é o resultado padrão do 1D H.O.)
Aplicando isso às três equações obtidas em Passo 3, obtemos autovalores parciais
com
. A energia total do estado produto é a soma:
Definindo o número quântico total
a energia depende apenas de
:
o que reproduce a forma indicada no enunciado.
Passo 5
Degenerescência
: a degenerescência de um nível de energia
é o número de estados independentes (distintos
) que dão o mesmo
. Assim devemos contar o número de tríades de inteiros não-negativos
tais que
com
.
Esse é um problema clássico de combinatória (partição fraca ou “stars and bars”): o número de maneiras de dividir
indistinguíveis unidades em
caixas é
Expandindo o binomial:
Para checar com exemplos pequenos:
- Para
: apenas , então . - Para
: , então . - Para
: 6 combinações , então .
Esses valores coincidem com a fórmula.