Considere o poço esférico infinito,
V(r)=\left\{\begin{aligned} 0, & \text { se } r \leq a, \\\ \infty, & \text { se } r>a, \end{aligned}\right.
Calcule as funções de onda e as energias permitidas.

Passo 1

O enunciado dá um potencial esférico infinito:
V(r)=\begin{cases} 0, & \text{se } r\le a,\\[4pt] \infty, & \text{se } r>a, \end{cases}
e pede as funções de onda permitidas e os níveis de energia. Informações relevantes e o que é pedido:
  • A partícula está confinada na bola de raio a (região r\le a); fora dessa bola a função de onda deve ser nula por V=\infty.
  • Procuramos as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo no interior ( r\le a) e as quantizações impostas pela condição de contorno na superfície r=a.
  • Devemos fornecer as funções de onda completas (dependendo de r,\theta,\varphi) e os valores permitidos de energia E.]

Passo 2

Esquema de solução (o que vamos fazer agora, sem calcular ainda):
  • Usar coordenadas esféricas e separar variáveis: escrever a equação de Schrödinger em r,\theta,\varphi e assumir \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi).
  • Resolver a parte angular (vai dar harmônicos esféricos).
  • Resolver a parte radial para r\le a. Como V=0 dentro, a equação radial reduz-se à forma livre; as soluções regulares na origem são funções esféricas tipo Bessel j_\ell(kr).
  • Impor \Psi(r=a)=0 (continuidade e potencial infinito) e assim achar os valores permitidos de k e, portanto, de E.
  • Normalizar as funções de onda.

Passo 3

Equação de Schrödinger e separação de variáveis.
A equação de Schrödinger estacionária é
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r)
no interior ( r\le a), pois V=0. Em coordenadas esféricas a separação padrão dá
\Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi),
onde Y_{\ell}^{m} são os harmônicos esféricos (parte angular). Os harmônicos esféricos são funções próprias do operador angular \hat L^2:
\hat L^2 Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi)=\hbar^2 \ell(\ell+1) Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi),
com \ell=0,1,2,\dots e m=-\ell,\dots,\ell. Essas funções são ortonormais na esfera e geram a degeneração 2\ell+1 para cada \ell.

Passo 4

Equação radial. Substituindo e dividindo por Y_{\ell}^{m} obtemos a equação radial (forma usual):
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)-\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}R+\frac{2mE}{\hbar^2}R=0.
É conveniente trocar para a função u(r)=rR(r). A equação para u(r) fica mais simples:
\frac{d^2 u}{dr^2}+\left(k^2-\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right)u=0, \qquad\text{onde}\qquad k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}.
Esta é a equação radial padrão de onda esférica livre. Suas soluções regulares na origem são as funções esféricas de Bessel j_\ell(kr); as soluções singulars n_\ell(kr) (funções de Neumann esféricas) divergem em r=0 e são descartadas.
Portanto, a solução radial física (no interior) é
R_{\ell}(r)=A_{\ell}\, j_{\ell}(kr),
e a solução total é
\Psi_{k\ell m}(r,\theta,\varphi)=A_{\ell}\, j_{\ell}(kr)\,Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi).

Passo 5

Condição na parede r=a e quantização. Como V=\infty para r>a, a função de onda deve satisfazer
\Psi(r=a,\theta,\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad R_{\ell}(a)=0.
Isso implica
j_{\ell}(ka)=0.
Logo ka deve ser um zero da função esférica de Bessel j_{\ell}. Denotando por \alpha_{\ell,n} o n-ésimo zero positivo de j_{\ell}(x) (com n=1,2,3,\dots), obtemos os valores permitidos de k:
k_{\ell,n}=\frac{\alpha_{\ell,n}}{a}.
As energias quantizadas são então
E_{\ell,n}=\frac{\hbar^2 k_{\ell,n}^2}{2m} =\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\alpha_{\ell,n}}{a}\right)^{\!2}.
Cada nível com índices (\ell,n) tem degeneração 2\ell+1 (valores de m).
Observação concreta e útil: para \ell=0 a função j_{0}(x)=\dfrac{\sin x}{x} tem zeros em x=n\pi ( n=1,2,\dots), logo
k_{0,n}=\frac{n\pi}{a},\qquad E_{0,n}=\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2m a^2}\quad(\ell=0).
Para \ell\ge1 os zeros \alpha_{\ell,n} não são múltiplos simples de \pi e devem ser obtidos numericamente (ex.: \alpha_{1,1}\approx 4{,}4934,\\ \alpha_{1,2}\approx 7{,}7253,\dots).

Passo 6

Normalização das funções de onda. A condição de normalização completa é
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{a} |\Psi_{n\ell m}|^2 r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi=1.
Como Y_{\ell}^{m} já são normalizados na esfera,
\int |Y_{\ell}^{m}|^2 d\Omega =1,
a normalização fica reduzida a normalizar R_{\ell,n} radialmente:
\int_{0}^{a} |R_{\ell,n}(r)|^2 r^2 dr =1.
Usando a propriedade ortogonal das funções j_{\ell} nos zeros \alpha_{\ell,n}, tem-se a identidade (padrão; pode ser obtida integrando a equação diferencial por partes)
\int_{0}^{a} r^2 \, j_{\ell}\!\big(\tfrac{\alpha_{\ell,n} r}{a}\big)^2 dr = \frac{a^3}{2}\, \big[j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})\big]^2.
Dessa identidade segue que o fator de normalização radial (escolhendo a fase conveniente) é
A_{\ell,n}=\sqrt{\frac{2}{a^3}}\frac{1}{\big|\,j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})\,\big|}.
Assim a função de onda normalizada fica
\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{2}{a^3}}\frac{j_{\ell}\!\big(\tfrac{\alpha_{\ell,n} r}{a}\big)}{j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})}\; Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi), \qquad 0\le r\le a,
e \Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=0 para r>a.
Verificação rápida para \ell=0: aqui j_{0}(x)=\dfrac{\sin x}{x} e j_{1}(x)=\dfrac{\sin x}{x^2}-\dfrac{\cos x}{x}. Para \alpha_{0,n}=n\pi tem-se \big|j_{1}(n\pi)\big|=\dfrac{1}{n\pi}, então
A_{0,n}=\sqrt{\frac{2}{a^3}}\frac{1}{1/(n\pi)}=\sqrt{\frac{2}{a^3}}\,n\pi,
o que reproduz a normalização direta para \ell=0 mencionada antes.

Passo 7

Resumo operacional e interpretação (dicas para a prova, como reconhecer e aplicar rápido):
  • Separe variáveis: \Psi=R(r)Y_{\ell}^{m}.
  • Radialmente troque u=rR e resolva \dfrac{d^2u}{dr^2}+\big(k^2-\dfrac{\ell(\ell+1)}{r^2}\big)u=0.
  • Escolha a solução regular u\propto r j_{\ell}(kr) \Rightarrow R\propto j_{\ell}(kr).
  • Impor j_{\ell}(ka)=0 para conseguir k_{\ell,n}=\alpha_{\ell,n}/a.
  • Energia \displaystyle E_{\ell,n}=\dfrac{\hbar^2}{2m}\big(\dfrac{\alpha_{\ell,n}}{a}\big)^2, degenerada em 2\ell+1.
  • Normalização com A_{\ell,n}=\sqrt{\dfrac{2}{a^3}}/j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n}).
Você consegue aplicar isso na prova: para \ell=0 use diretamente \sin(kr)/kr e zeros k=n\pi/a; para \ell\ge1 mencione que as constantes \alpha_{\ell,n} são zeros das j_{\ell} e, se pedirem valores numéricos, dê os primeiros zeros tabelados ou calcule numericamente.

Resposta

As funções de onda normalizadas e as energias permitidas são, para n=1,2,\dots\), \(\ell=0,1,2,\dots\) e \(m=-\ell,\dots,\ell\): \[\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)= \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{a^3}}\; \dfrac{j_{\ell}\!\big(\dfrac{\alpha_{\ell,n} r}{a}\big)}{j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})}\;Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi), & 0\le r\le a,\\[8pt] 0, & r>a, \end{cases}
onde \alpha_{\ell,n}\] é o \(n-ésimo zero positivo de j_{\ell}(x). As energias são
E_{\ell,n}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\alpha_{\ell,n}}{a}\right)^{\!2}.
No caso particular \ell=0 tem j_{0}(x)=\dfrac{\sin x}{x}, \alpha_{0,n}=n\pi e
\Psi_{n,0,0}(r,\theta,\varphi)= \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{a^3}}\,n\pi\;\dfrac{\sin\!\big(\dfrac{n\pi r}{a}\big)}{\dfrac{n\pi r}{a}}\;\dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}, & 0\le r\le a,\\[8pt] 0, & r>a, \end{cases} \qquad E_{0,n}=\dfrac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2m a^2}.]

Exercícios relacionados