e pede as funções de onda permitidas e os níveis de energia. Informações relevantes e o que é pedido:
A partícula está confinada na bola de raio a (região r\le a); fora dessa bola a função de onda deve ser nula por V=\infty.
Procuramos as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo no interior (r\le a) e as quantizações impostas pela condição de contorno na superfície r=a.
Devemos fornecer as funções de onda completas (dependendo de r,\theta,\varphi) e os valores permitidos de energia E.]
Passo 2
Esquema de solução (o que vamos fazer agora, sem calcular ainda):
Usar coordenadas esféricas e separar variáveis: escrever a equação de Schrödinger em r,\theta,\varphi e assumir \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi).
Resolver a parte angular (vai dar harmônicos esféricos).
Resolver a parte radial para r\le a. Como V=0 dentro, a equação radial reduz-se à forma livre; as soluções regulares na origem são funções esféricas tipo Bessel j_\ell(kr).
Impor \Psi(r=a)=0 (continuidade e potencial infinito) e assim achar os valores permitidos de k e, portanto, de E.
Normalizar as funções de onda.
Passo 3
Equação de Schrödinger e separação de variáveis.
A equação de Schrödinger estacionária é
Esta é a equação radial padrão de onda esférica livre. Suas soluções regulares na origem são as funções esféricas de Bessel j_\ell(kr); as soluções singulars n_\ell(kr) (funções de Neumann esféricas) divergem em r=0 e são descartadas.
Logo ka deve ser um zero da função esférica de Bessel j_{\ell}. Denotando por \alpha_{\ell,n} o n-ésimo zero positivo de j_{\ell}(x) (com n=1,2,3,\dots), obtemos os valores permitidos de k:
Para \ell\ge1 os zeros \alpha_{\ell,n} não são múltiplos simples de \pi e devem ser obtidos numericamente (ex.: \alpha_{1,1}\approx 4{,}4934,\\ \alpha_{1,2}\approx 7{,}7253,\dots).
Passo 6
Normalização das funções de onda. A condição de normalização completa é
a normalização fica reduzida a normalizar R_{\ell,n} radialmente:
\int_{0}^{a} |R_{\ell,n}(r)|^2 r^2 dr =1.
Usando a propriedade ortogonal das funções j_{\ell} nos zeros \alpha_{\ell,n}, tem-se a identidade (padrão; pode ser obtida integrando a equação diferencial por partes)
\int_{0}^{a} r^2 \, j_{\ell}\!\big(\tfrac{\alpha_{\ell,n} r}{a}\big)^2 dr = \frac{a^3}{2}\, \big[j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})\big]^2.
Dessa identidade segue que o fator de normalização radial (escolhendo a fase conveniente) é
\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{2}{a^3}}\frac{j_{\ell}\!\big(\tfrac{\alpha_{\ell,n} r}{a}\big)}{j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})}\; Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi), \qquad 0\le r\le a,
e \Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=0 para r>a.
Verificação rápida para \ell=0: aqui j_{0}(x)=\dfrac{\sin x}{x} e j_{1}(x)=\dfrac{\sin x}{x^2}-\dfrac{\cos x}{x}. Para \alpha_{0,n}=n\pi tem-se \big|j_{1}(n\pi)\big|=\dfrac{1}{n\pi}, então
o que reproduz a normalização direta para \ell=0 mencionada antes.
Passo 7
Resumo operacional e interpretação (dicas para a prova, como reconhecer e aplicar rápido):
Separe variáveis: \Psi=R(r)Y_{\ell}^{m}.
Radialmente troque u=rR e resolva \dfrac{d^2u}{dr^2}+\big(k^2-\dfrac{\ell(\ell+1)}{r^2}\big)u=0.
Escolha a solução regular u\propto r j_{\ell}(kr)\RightarrowR\propto j_{\ell}(kr).
Impor j_{\ell}(ka)=0 para conseguir k_{\ell,n}=\alpha_{\ell,n}/a.
Energia \displaystyle E_{\ell,n}=\dfrac{\hbar^2}{2m}\big(\dfrac{\alpha_{\ell,n}}{a}\big)^2, degenerada em 2\ell+1.
Normalização com A_{\ell,n}=\sqrt{\dfrac{2}{a^3}}/j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n}).
Você consegue aplicar isso na prova: para \ell=0 use diretamente \sin(kr)/kr e zeros k=n\pi/a; para \ell\ge1 mencione que as constantes \alpha_{\ell,n} são zeros das j_{\ell} e, se pedirem valores numéricos, dê os primeiros zeros tabelados ou calcule numericamente.
Resposta
As funções de onda normalizadas e as energias permitidas são, para n=1,2,\dots\), \(\ell=0,1,2,\dots\) e \(m=-\ell,\dots,\ell\):
\[\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)= \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{a^3}}\; \dfrac{j_{\ell}\!\big(\dfrac{\alpha_{\ell,n} r}{a}\big)}{j_{\ell+1}(\alpha_{\ell,n})}\;Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi), & 0\le r\le a,\\[8pt] 0, & r>a, \end{cases}
onde \alpha_{\ell,n}\] é o \(n-ésimo zero positivo de j_{\ell}(x). As energias são