(10,0 pts) Ache os valores de
para os quais a Série
:
(a) é absolutamente convergente;
(b) é convergente;
(c) é condicionalmente convergente.
(d) e ache seu raio de convergência
(a) é absolutamente convergente;
(b) é convergente;
(c) é condicionalmente convergente.
(d) e ache seu raio de convergência
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
:
O que precisamos é:
– usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência;
– determinar onde ela é absolutamente convergente ( converge);
– verificar a convergência no interior do intervalo e nos extremos para achar convergência condicional.
– usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência;
– determinar onde ela é absolutamente convergente (
– verificar a convergência no interior do intervalo e nos extremos para achar convergência condicional.
Passo 2
Para a convergência absoluta, consideramos
Aplicando o teste da razão a
, temos
Pelo teste da razão,
converge se
e diverge se
.
Passo 3
Do resultado anterior segue que o raio de convergência é
Isto define o intervalo aberto de convergência absoluta e ordinária como
Passo 4
Agora analisamos os extremos
e
:
– Para
, temos
e a série fica
que é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz, ela converge, mas não absolutamente. Logo, em
há convergência condicional.
– Para
, temos
e
que diverge (série harmônica). Logo, não há convergência em
.
Resposta
(a) A série é absolutamente convergente para
(b) A série é convergente (absoluta ou condicional) para
(c) A série é condicionalmente convergente apenas em
(d) O raio de convergência é