(10,0 pts) Ache os valores de x para os quais a Série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{(x-2)^{n}}{n} :
(a) é absolutamente convergente;
(b) é convergente;
(c) é condicionalmente convergente.
(d) e ache seu raio de convergência

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x_{0}=2:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(x-2)^{n}}{n}.
O que precisamos é:
– usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência;
– determinar onde ela é absolutamente convergente ( \sum|a_{n}| converge);
– verificar a convergência no interior do intervalo e nos extremos para achar convergência condicional.

Passo 2

Para a convergência absoluta, consideramos
a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac{(x-2)^{n}}{n} \quad\Longrightarrow\quad |a_{n}|=\frac{|x-2|^{n}}{n}.
Aplicando o teste da razão a |a_{n}|, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x-2|^{\,n+1}/(n+1)}{|x-2|^{\,n}/n} =\lim_{n\to\infty}|x-2|\;\frac{n}{n+1} =|x-2|.
Pelo teste da razão, \sum|a_{n}| converge se |x-2|<1 e diverge se |x-2|>1.

Passo 3

Do resultado anterior segue que o raio de convergência é
R=1.
Isto define o intervalo aberto de convergência absoluta e ordinária como
|x-2|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<3.

Passo 4

Agora analisamos os extremos x=1 e x=3:
– Para x=3, temos x-2=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n},
que é a série harmônica alternada. Pelo critério de Leibniz, ela converge, mas não absolutamente. Logo, em x=3 há convergência condicional.
– Para x=1, temos x-2=-1 e
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(-1)^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-1\bigr)^{2n+1}\frac{1}{n} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que diverge (série harmônica). Logo, não há convergência em x=1.

Resposta

(a) A série é absolutamente convergente para
1<x<3.
(b) A série é convergente (absoluta ou condicional) para
1<x\le3.
(c) A série é condicionalmente convergente apenas em
x=3.
(d) O raio de convergência é
R=1.

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