Represente uma das seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
(a) \int \frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para representar
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\,dx
como série de potências. Vamos usar a expansão de Maclaurin de \operatorname{sen} x e integrar termo a termo, lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}.

Passo 2

A série de Maclaurin de \operatorname{sen} x é
\operatorname{sen} x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Dividindo por \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1-\tfrac12}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+\tfrac12}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo: para cada n,
\int x^{2n+\tfrac12}\,dx = \frac{x^{2n+\tfrac32}}{2n+\tfrac32} = \frac{2\,x^{2n+\tfrac32}}{4n+3}.
Logo,
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2}{(4n+3)\,(2n+1)!}\;x^{2n+\tfrac32} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{2}{(4n+3)\,(2n+1)!}\;x^{2n+\tfrac32} + C }.

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