Calcule a área da região compreendida entre f(x)=\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+1}} e o eixo x, no intervalo
[1,+\infty].

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}
e queremos a área sob o gráfico de f para x de 1 até +\infty. Isso é um integral impróprio
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o uso de substituição hiperbólica para resolver integrais envolvendo \sqrt{x^{2}+1} e lidar com o limite em +\infty.

Passo 2

Fazemos a substituição hiperbólica
x=\operatorname{sinh} t,
logo
dx=\operatorname{cosh} t\,dt, \quad \sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}t+1}=\operatorname{cosh} t,
e também x^{2}=\operatorname{sinh}^{2}t.

Passo 3

Substituindo em f(x)\,dx:
\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}t\;\operatorname{cosh} t}\,\bigl(\operatorname{cosh} t\,dt\bigr) = \frac{1}{\operatorname{sinh}^{2}t}\,dt = \csch^{2}t\,dt.

Passo 4

Precisamos ajustar os limites em t. Quando x=1, t=\arsinh(1)=\ln(1+\sqrt{2}). Quando x\to+\infty, temos t\to+\infty. Então o integral vira
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \int_{\ln(1+\sqrt{2})}^{+\infty}\csch^{2}t\,dt.

Passo 5

Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\coth t\bigr)=-\csch^{2}t \quad\Longrightarrow\quad \csch^{2}t=-\frac{d}{dt}(\coth t).
Logo,
\int \csch^{2}t\,dt =-\coth t + C.
Aplicando os limites:
\int_{\ln(1+\sqrt{2})}^{+\infty}\csch^{2}t\,dt = \Bigl[-\coth t\Bigr]_{\ln(1+\sqrt{2})}^{+\infty} = \bigl(-\coth(+\infty)\bigr)-\bigl(-\coth(\ln(1+\sqrt{2}))\bigr).

Passo 6

Como \coth t\to1 quando t\to+\infty, o termo em +\infty vale -1. Para t_{0}=\ln(1+\sqrt{2}) temos \operatorname{sinh} t_{0}=1 e \operatorname{cosh} t_{0}=\sqrt{2}, logo
\coth(t_{0})=\frac{\operatorname{cosh} t_{0}}{\operatorname{sinh} t_{0}}=\sqrt{2}.
Portanto,
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = (-1)-\bigl(-\sqrt{2}\bigr) = \sqrt{2}-1.

Resposta

\sqrt{2}-1

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