Represente una das seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
\int e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral indefinida
\int e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,dx
como uma série de potências. Para isso vamos usar a expansão de Maclaurin de e^z e depois integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^z é
e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}.
Tomando z=-\tfrac{x^2}{2} obtemos
e^{-\tfrac{x^2}{2}} =\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\Bigl(-\tfrac{x^2}{2}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\,\frac{x^{2n}}{2^n} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\,x^{2n}}{2^n\,n!}.

Passo 3

Agora integramos a série termo a termo. Como
\int x^{2n}\,dx=\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
temos
\int e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,dx =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n\,n!}\,\int x^{2n}\,dx =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n\,n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+C.

Resposta

\int e^{-\tfrac{x^2}{2}}\,dx =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n\,n!\,(2n+1)}\,x^{2n+1}+C.

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