(10 pts) Considere a matriz
A=[rrrrr 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & raiz3 & 5 / 2 & 1 / 4 0 & raiz3 & 1 / 3 & pi & pi^2 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & -1 1 & 2 & -3 & raiz2 & raiz3 / raiz2 ]
calcule o determinante da matriz 2 A^10.

Passo 1

O enunciado pede detl(2A^10r). Vamos usar duas propriedades de determinante:
  1. Para escalares e matrizes ntimes n:
det(cM) = c^ndet(M)
  1. Para potências de matriz quadrada:
detl(M^kr) = l(det Mr)^k
Como A é 5times5, temos
detl(2A^10r) = detl(2Icdot A^10r) = 2^5detl(A^10r) = 32l(det Ar)^10
Logo, resta calcular det A.

Passo 2

Escrevemos A e observamos que a primeira coluna tem só um elemento não nulo na quinta linha. Assim, expandindo em cofatores pela coluna 1,
A = 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & raiz3 & tfrac52 & tfrac14 0 & raiz3 & tfrac13 & pi & pi^2 0 & 0 & 0 & tfrac13 & -1 1 & 2 & -3 & raiz2 & tfracraiz3raiz2 ,
det A = 1cdot(-1)^5+1det 0 & 0 & 0 & -1 0 & raiz3 & tfrac52 & tfrac14 raiz3 & tfrac13 & pi & pi^2 0 & 0 & tfrac13 & -1 = det M

Passo 3

Para a 4times4 matriz
M = 0 & 0 & 0 & -1 0 & raiz3 & tfrac52 & tfrac14 raiz3 & tfrac13 & pi & pi^2 0 & 0 & tfrac13 & -1 ,
expandimos pela primeira linha (três zeros e só o elemento -1 na coluna 4):
det M = (-1),(-1)^1+4; det 0 & raiz3 & tfrac52 raiz3 & tfrac13 & pi 0 & 0 & tfrac13 = det N

Passo 4

O 3times3 é
N = raiz3 & tfrac52 & tfrac14 tfrac13 & pi & pi^2 0 & tfrac13 & -1
Usamos a fórmula de Sarrus (ou cofactores):
det N = raiz3,l(picdot(-1) - pi^2cdottfrac13r) - tfrac52,l(tfrac13cdot(-1) - pi^2cdot0r) + tfrac14,l(tfrac13cdottfrac13 - picdot0r)

Passo 5

Calculando cada termo:
raiz3,l(-pi - tfracpi^23r) = -raiz3l(pi + tfracpi^23r),
-tfrac52l(-tfrac13r) = +tfrac56,
tfrac14cdottfrac19 = tfrac136
Somando,
det N = -raiz3l(pi + tfracpi^23r) + tfrac56 + tfrac136 = -raiz3l(pi + tfracpi^23r) + tfrac3136
Portanto det A = det N.

Passo 6

Voltando ao que queremos:
detl(2A^10r) = 32l(det Ar)^10 = 32l(-raiz3l(pi + tfracpi^23r) + tfrac3136r)^10

Resposta

detl(2A^10r) = 32l(-raiz3l(pi + tfracpi^23r) + tfrac3136r)^10

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