nas variáveis x1, x2 e x3. Determine
(a) (20 pts) Os valores de v e w para que o sistema seja consistente e possua infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear em (x1,x2,x3) com parâmetros v e w e pede os valores de v e w para que o sistema seja consistente e tenha infinitas soluções.
Conteúdo: estudo de consistência e de existência de soluções infinitas via postos da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A= 1 & 2 & 1 2 & 1 & v-2 1 & 5 & 6-w
e calculamos seu determinante:
det A =1cdotdet1&v-25&6-w -2cdotdet2&v-21&6-w +1cdotdet2&11&5
Passo 3
Calculando cada menor, chega-se a
det A =3,(w - v -1)
Para ter posto de A menor que 3 (e, assim, infinitas soluções), precisamos de
det A=0 Longrightarrow w = v + 1
Passo 4
Para garantir consistência, a mesma combinação linear que anula as linhas de A deve anular também os termos independentes (3,v,3). Encontramos que -3 vezes a primeira equação mais 1 vez a segunda mais 1 vez a terceira anula os coeficientes quando w=v+1. Essa combinação aplicada aos termos independentes dá
-3cdot 3 + 1cdot v + 1cdot 3 = v - 6
Para que não haja contradição, precisamos de
v - 6 = 0 Longrightarrow v = 6
Passo 5
Com v=6 e w=v+1, obtemos w=7. Nessa escolha o posto de A é 2 e o posto da matriz aumentada também é 2, garantindo consistência e infinitas soluções.