Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Queremos, para cada matriz M, encontrar uma decomposição do tipo
M = L ; RFE,
onde
– L é triangular inferior com uns na diagonal,
– RFE é a forma escalonada de linhas obtida de M por eliminação de Gauss sem permutar linhas.
Fazemos eliminação linha a linha, registrando em L os multiplicadores usados em cada passo.
Passo 2
Matriz A:
A= 1 & 4 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Pivot em a11=1. Eliminamos a21 com m21=2, ou seja R2 R2-2R1, e m31=0 (nenhuma ação em R3).
Nova segunda linha: l[0,,-6,,1,,0r].
Segundo pivot em posição (2,2) vale -6. Como a32=0, não há mais eliminações.
é zero. Logo o pivot na segunda etapa seria zero e não há como prosseguir sem permutar linhas.
Portanto não existe decomposição B=L,RFE sem pivoteamento.
Passo 4
Matriz C:
C= 1 & -3 & 2 & -1 2 & -1 & 2 & -2
Pivot em c11=1. Eliminamos c21 com m21=2, ou seja R2 R2-2R1.
Nova linha 2: l[0,,5,,-2,,0r].
O primeiro pivot seria d11=0, o que impede qualquer eliminação sem trocar linhas.
Logo não existe decomposição D=L,RFE sem pivoteamento.
Passo 6
Matriz E:
E= 3 & 0 0 & 0 0 & 2
Pivot em e11=3 funciona, mas na segunda etapa o pivot seria e22=0,
impedindo eliminação em R3 sem permutar as linhas 2 e 3.
Portanto não existe decomposição E=L,RFE sem permutações.