Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
A=(llll 1 & 4 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) B=(rrr 1 & -1 & 0 -2 & 2 & 0 0 & 1 & 0 ) C=(llll 1 & -3 & 2 & -1 2 & -1 & 2 & -2 ) D=(rrr 0 & 1 & 3 2 & 1 & -4 2 & 3 & 3 ) E=(ll 3 & 0 0 & 0 0 & 2 )

Passo 1

Queremos, para cada matriz M, encontrar uma decomposição do tipo
M = L ; RFE,
onde
L é triangular inferior com uns na diagonal,
RFE é a forma escalonada de linhas obtida de M por eliminação de Gauss sem permutar linhas.
Fazemos eliminação linha a linha, registrando em L os multiplicadores usados em cada passo.

Passo 2

Matriz A:
A= 1 & 4 & 0 & 0 2 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
  1. Pivot em a11=1. Eliminamos a21 com
    m21=2, ou seja R2 R2-2R1, e m31=0 (nenhuma ação em R3).
    Nova segunda linha: l[0,,-6,,1,,0r].
  2. Segundo pivot em posição (2,2) vale -6. Como a32=0, não há mais eliminações.
  3. Terceiro pivot em posição (3,4) já é 1.
Logo
RFE(A) = 1 & 4 & 0 & 0 0 & -6 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , L(A) = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Matriz B:
B= 1 & -1 & 0 -2 & 2 & 0 0 & 1 & 0
O segundo menor principal
det1 & -1-2 & 2 =1cdot2 -(-1)cdot(-2)=2-2=0
é zero. Logo o pivot na segunda etapa seria zero e não há como prosseguir sem permutar linhas.
Portanto não existe decomposição B=L,RFE sem pivoteamento.

Passo 4

Matriz C:
C= 1 & -3 & 2 & -1 2 & -1 & 2 & -2
  1. Pivot em c11=1. Eliminamos c21 com
    m21=2, ou seja R2 R2-2R1.
    Nova linha 2: l[0,,5,,-2,,0r].
  2. Não há mais linhas abaixo.
Assim
RFE(C) = 1 & -3 & 2 & -1 0 & 5 & -2 & 0 , L(C) = 1 & 0 2 & 1

Passo 5

Matriz D:
D= 0 & 1 & 3 2 & 1 & -4 2 & 3 & 3
O primeiro pivot seria d11=0, o que impede qualquer eliminação sem trocar linhas.
Logo não existe decomposição D=L,RFE sem pivoteamento.

Passo 6

Matriz E:
E= 3 & 0 0 & 0 0 & 2
  1. Pivot em e11=3 funciona, mas na segunda etapa o pivot seria e22=0,
    impedindo eliminação em R3 sem permutar as linhas 2 e 3.
    Portanto não existe decomposição E=L,RFE sem permutações.

Resposta

A decomposição M=L,RFE existe apenas para
A: L= 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , RFE= 1 & 4 & 0 & 0 0 & -6 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ;
C: L= 1 & 0 2 & 1 , RFE= 1 & -3 & 2 & -1 0 & 5 & -2 & 0
Para B, D e E, a fatoração M=L,RFE sem trocar linhas não existe.

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