(10 pts) Para determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre a madeira e o aço, uma aluna coloca um bloco de madeira numa pista de aço inclinada. Ela observa que o bloco está na iminência de escorregar quando a pista faz um ângulo de
com a horizontal.
a) ( 4 pts ) Determine o coeficiente de atrito estático
entre a pista e o bloco.
b) ( 6 pts ) Com o mesmo ângulo, ela empurra o bloco suavemente. O bloco começa a escorregar com uma aceleração constante de magnitude
ao longo da pista inclinada para baixo. Calcule o coeficiente de atrito cinético
.
a) ( 4 pts ) Determine o coeficiente de atrito estático
b) ( 6 pts ) Com o mesmo ângulo, ela empurra o bloco suavemente. O bloco começa a escorregar com uma aceleração constante de magnitude
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas distintas:
- (a) Determinar o coeficiente de atrito estático
entre a madeira e o aço sabendo que o bloco está na iminência de escorregar quando a pista forma um ângulo com a horizontal. - (b) Com a mesma inclinação, após empurrar suavemente, o bloco escorrega para baixo com aceleração constante de magnitude
. Determinar o coeficiente de atrito cinético .
Dados fornecidos (importante anotá-los):
Vou usar a aceleração da gravidade
(valor padrão). Nada mais foi pedido nem fornecido.
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente o diagrama de forças (free-body) para o bloco sobre a rampa inclinada e definir e explicar cada força:
- Peso: força peso
com módulo apontando vertical para baixo. Aqui é a massa do bloco e é a aceleração da gravidade. - Normal: força normal
da superfície sobre o bloco, perpendicular à superfície inclinada. - Atrito: força de atrito
tangente à superfície, que pode ser estático (quando o bloco não desliza) ou cinético (quando há deslizamento). O atrito sempre atua de modo a opor o movimento relativo entre superfícies.
Agora explico a decomposição do peso em componentes úteis:
- Componente do peso paralela à rampa (para baixo):
. Isso é a tendência de “empurrar” o bloco para baixo ao longo da rampa. - Componente do peso perpendicular à rampa:
. Essa componente é equilibrada pela normal, logo se não houver aceleração perpendicular.
Essas expressões vêm da trigonometria: ao projetar o vetor peso sobre os eixos paralelo e perpendicular à rampa, os catetos são
e
.
Passo 3
Parte (a): caso de iminência de escorregar (atrito estático máximo).
Quando o bloco está na iminência de escorregar para baixo, as forças ao longo da rampa estão em equilíbrio (aceleração nula). O atrito estático máximo vale
Quando o bloco está na iminência de escorregar para baixo, as forças ao longo da rampa estão em equilíbrio (aceleração nula). O atrito estático máximo vale
Equacionando forças ao longo da rampa (positivo para baixo):
Substituindo
e
, obtemos
Cancelando
(massa e gravidade não nulas) e isolando
:
Portanto, em palavras simples: o coeficiente de atrito estático necessário para impedir o deslizamento na iminência é o tangente do ângulo da rampa.
Passo 4
Cálculo numérico de
. Usamos
. Podemos calcular
via relação
ou diretamente numa tabela/calculadora trigonométrica. Usando valores trigonométricos:
Logo
Animação curta: esse valor significa que a superfície precisa de atrito relativamente moderado para segurar o bloco em
.
Passo 5
Parte (b): caso de movimento com aceleração para baixo (atrito cinético).
Quando o bloco desliza para baixo com aceleração , aplicamos a segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo à rampa (positivo para baixo):
As forças ao longo da rampa são para baixo e o atrito cinético
para cima, com
. Pela segunda lei:
Quando o bloco desliza para baixo com aceleração
As forças ao longo da rampa são
Substituindo
:
Cancelamos
(aparece em todos os termos) e isolamos
:
Essa fórmula tem interpretação física clara: a diferença entre a componente do peso ao longo da rampa e a aceleração requerida (por unidade de
) dá o atrito cinético relativo à normal.
Passo 6
Cálculo numérico de
com
,
e
.
Usando os valores trigonométricos já anotados:
Usando os valores trigonométricos já anotados:
Aplicando a fórmula:
Observação física útil: esperávamos
(coeficiente cinético geralmente menor que o estático), e de fato
, o que faz sentido.
Passo 7
Consolidação e nota prática:
- Ambos os coeficientes são adimensionais (sem unidade).
- Os valores foram arredondados a três algarismos significativos, suficiente para a maioria dos problemas de prova.
- Se você for fazer esse tipo de cálculo na prova sem calculadora, memorize que para situação de equilíbrio na rampa
e que, com aceleração conhecida, use a equação da segunda lei para isolar como fizemos.