(10 pts) Para determinar os coeficientes de atrito estático e cinético entre a madeira e o aço, uma aluna coloca um bloco de madeira numa pista de aço inclinada. Ela observa que o bloco está na iminência de escorregar quando a pista faz um ângulo de 28^{\circ} com a horizontal.
a) ( 4 pts ) Determine o coeficiente de atrito estático \mu_{e} entre a pista e o bloco.
b) ( 6 pts ) Com o mesmo ângulo, ela empurra o bloco suavemente. O bloco começa a escorregar com uma aceleração constante de magnitude a=1,15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ao longo da pista inclinada para baixo. Calcule o coeficiente de atrito cinético \mu_{c}.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas distintas:
  1. (a) Determinar o coeficiente de atrito estático \mu_{e} entre a madeira e o aço sabendo que o bloco está na iminência de escorregar quando a pista forma um ângulo \,28^\circ com a horizontal.
  2. (b) Com a mesma inclinação, após empurrar suavemente, o bloco escorrega para baixo com aceleração constante de magnitude a=1,15\\ \mathrm{m/s^2}. Determinar o coeficiente de atrito cinético \mu_{c}.
Dados fornecidos (importante anotá-los):
\theta = 28^\circ,\qquad a = 1,15\\ \mathrm{m/s^2}.
Vou usar a aceleração da gravidade g = 9,80\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão). Nada mais foi pedido nem fornecido.

Passo 2

Vamos desenhar mentalmente o diagrama de forças (free-body) para o bloco sobre a rampa inclinada e definir e explicar cada força:
  • Peso: força peso \vec{P} com módulo mg apontando vertical para baixo. Aqui m é a massa do bloco e g é a aceleração da gravidade.
  • Normal: força normal \vec{N} da superfície sobre o bloco, perpendicular à superfície inclinada.
  • Atrito: força de atrito \vec{f} tangente à superfície, que pode ser estático (quando o bloco não desliza) ou cinético (quando há deslizamento). O atrito sempre atua de modo a opor o movimento relativo entre superfícies.
Agora explico a decomposição do peso em componentes úteis:
  • Componente do peso paralela à rampa (para baixo): mg\sin\theta. Isso é a tendência de “empurrar” o bloco para baixo ao longo da rampa.
  • Componente do peso perpendicular à rampa: mg\cos\theta. Essa componente é equilibrada pela normal, logo N = mg\cos\theta se não houver aceleração perpendicular.
Essas expressões vêm da trigonometria: ao projetar o vetor peso sobre os eixos paralelo e perpendicular à rampa, os catetos são mg\sin\theta e mg\cos\theta.

Passo 3

Parte (a): caso de iminência de escorregar (atrito estático máximo).
Quando o bloco está na iminência de escorregar para baixo, as forças ao longo da rampa estão em equilíbrio (aceleração nula). O atrito estático máximo vale
f_{s,\max} = \mu_{e} N.
Equacionando forças ao longo da rampa (positivo para baixo):
mg\sin\theta - f_{s,\max} = 0.
Substituindo f_{s,\max}=\mu_{e}N e N=mg\cos\theta, obtemos
mg\sin\theta - \mu_{e}\,mg\cos\theta = 0.
Cancelando mg (massa e gravidade não nulas) e isolando \mu_{e}:
\mu_{e} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Portanto, em palavras simples: o coeficiente de atrito estático necessário para impedir o deslizamento na iminência é o tangente do ângulo da rampa.

Passo 4

Cálculo numérico de \mu_{e}. Usamos \theta=28^\circ. Podemos calcular \tan 28^\circ via relação \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} ou diretamente numa tabela/calculadora trigonométrica. Usando valores trigonométricos:
\sin 28^\circ \approx 0,46947,\qquad \cos 28^\circ \approx 0,88295.
Logo
\mu_{e} = \tan 28^\circ \approx \frac{0,46947}{0,88295} \approx 0,532.
Animação curta: esse valor significa que a superfície precisa de atrito relativamente moderado para segurar o bloco em 28^\circ.

Passo 5

Parte (b): caso de movimento com aceleração para baixo (atrito cinético).
Quando o bloco desliza para baixo com aceleração a, aplicamos a segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo à rampa (positivo para baixo):
As forças ao longo da rampa são mg\sin\theta para baixo e o atrito cinético f_k para cima, com f_k=\mu_{c}N=\mu_{c}mg\cos\theta. Pela segunda lei:
mg\sin\theta - f_k = ma.
Substituindo f_k:
mg\sin\theta - \mu_{c}mg\cos\theta = ma.
Cancelamos m (aparece em todos os termos) e isolamos \mu_{c}:
g\sin\theta - \mu_{c}g\cos\theta = a
\mu_{c} = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta}.
Essa fórmula tem interpretação física clara: a diferença entre a componente do peso ao longo da rampa e a aceleração requerida (por unidade de g) dá o atrito cinético relativo à normal.

Passo 6

Cálculo numérico de \mu_{c} com \theta=28^\circ, a=1,15\\ \mathrm{m/s^2} e g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
Usando os valores trigonométricos já anotados:
g\sin\theta \approx 9,80\times 0,46947 \approx 4,6005\\ \mathrm{m/s^2},
g\cos\theta \approx 9,80\times 0,88295 \approx 8,6569\\ \mathrm{m/s^2}.
Aplicando a fórmula:
\mu_{c} = \frac{4,6005 - 1,15}{8,6569} = \frac{3,4505}{8,6569} \approx 0,399.
Observação física útil: esperávamos \mu_{c}<\mu_{e} (coeficiente cinético geralmente menor que o estático), e de fato 0,399<0,532, o que faz sentido.

Passo 7

Consolidação e nota prática:
  • Ambos os coeficientes são adimensionais (sem unidade).
  • Os valores foram arredondados a três algarismos significativos, suficiente para a maioria dos problemas de prova.
  • Se você for fazer esse tipo de cálculo na prova sem calculadora, memorize que para situação de equilíbrio na rampa \mu_{e}=\tan\theta e que, com aceleração conhecida, use a equação da segunda lei para isolar \mu_{c} como fizemos.

Resposta

\mu_{e}=0,532
\mu_{c}=0,399

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