Um condutor esférico de raio a portando uma carga Q é envolto por um material dielétrico de susceptibilidade \chi_{c}, de forma que todo o sistema é esférico de raio b.
(a) (0,6 \mathrm{pt}) Encontre o deslocamento elétrico em todo o espaço.
(b) (0,6 \mathrm{pt}) Encontre o campo elétrico em todo o espaço.
(c) (0,8 \mathrm{pt}) Encontre a energia desta configuraçāo.
Passo 1
O enunciado dá um condutor esférico de raio a que possui carga elétrica total Q. Ao redor do condutor, até o raio b, existe um material dielétrico homogêneo e isotrópico com susceptibilidade elétrica \chi_{c}. Fora de r=b há vácuo. O sistema tem simetria esférica.
O que pede o problema:
(a) Encontrar o deslocamento elétrico \mathbf{D} em todo o espaço.
(b) Encontrar o campo elétrico \mathbf{E} em todo o espaço.
(c) Calcular a energia eletrostática dessa configuração.
Informações relevantes dadas (resumindo): Q,\;a,\;b,\;\chi_{c}. Não há outros carregamentos livres além de Q no condutor.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo simples):
O dielétrico linear relaciona polarização e campo por \mathbf{P}=\epsilon_0\chi_{c}\mathbf{E}. Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Isso significa: se eu aplico um campo \mathbf{E} no dielétrico, ele cria uma polarização \mathbf{P} proporcional a \mathbf{E} com fator \epsilon_0\chi_{c}.
O deslocamento elétrico é definido por \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}. Para dielétrico linear homogêneo isto simplifica para \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}, onde
\epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}).
Aqui \epsilon é a permissividade do material dielétrico (uma constante).
A lei de Gauss para \mathbf{D} (válida em presença de dielétricos) diz
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}},
ou, em forma integral para uma superfície fechada,
Isto é ótimo porque só conta a carga livre (no nosso caso, a carga Q no condutor), e pela simetria esférica o campo \mathbf{D} será radial e dependerá só de r.
A energia eletrostática em meios lineares pode ser escrita como
Usaremos essa expressão, dividindo a integral nas regiões apropriadas.
Passo 3
Cálculo do deslocamento \mathbf{D}\) usando Gauss (passo a passo):
- Considere uma superfície gaussiana esférica de raio \(r\), centrada na esfera condutora. Pela simetria \(\mathbf{D}(r)=D_r(r)\,\hat{\mathbf r}\).
- Fluxo através da esfera de raio \(r\) é \(\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_r(r)\,4\pi r^2\).
- O lado direito é a carga livre encerrada \(Q_{\text{livre,enc}}\). Assim:
- Para \(r<a\) (dentro do condutor), não há carga livre no volume interno (a carga do condutor está na superfície \(r=a\)), logo \(Q_{\text{enc}}=0\). Assim \(D_r(r)=0\).
- Para \(r>a\) (qualquer superfície que envolva a superfície do condutor), a carga livre encerrada é \(Q\), logo
\[D_r(r)\,4\pi r^2 = Q \quad\Rightarrow\quad D_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}.
Conclusão para \mathbf{D} (escrevendo de forma completa por regiões):
Observação: não existe carga livre na superfície r=b\], portanto \(\mathbf{D} é contínuo atravessando r=b. (A carga ligada aparece via \mathbf{P}, não em \mathbf{D}.)]
Passo 4
Cálculo do campo elétrico \mathbf{E} a partir de \mathbf{D}, explicando cada relação:
Dentro do condutor (r<a) um condutor eletrostático em equilíbrio tem \mathbf{E}=0. Então \mathbf{E}(r)=0 para r<a.
Para a<r<b estamos no dielétrico, onde \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E} com \epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}). Assim
Cálculo da energia U usando U=\tfrac{1}{2}\int \mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,d\tau. Vamos fazer passo a passo e dividir o espaço nas regiões com campo:
Dentro do condutor (0\le r<a): \mathbf{E}=\mathbf{D}=0 portanto contribuição nula.
Para a<r<b (dielétrico): \mathbf{D}=\dfrac{Q}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r} e \mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^2}\hat{\mathbf r} com \epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}). Então