Um condutor esférico de raio a portando uma carga Q é envolto por um material dielétrico de susceptibilidade \chi_{c}, de forma que todo o sistema é esférico de raio b.
(a) (0,6 \mathrm{pt}) Encontre o deslocamento elétrico em todo o espaço.
(b) (0,6 \mathrm{pt}) Encontre o campo elétrico em todo o espaço.
(c) (0,8 \mathrm{pt}) Encontre a energia desta configuraçāo.

Passo 1

O enunciado dá um condutor esférico de raio a que possui carga elétrica total Q. Ao redor do condutor, até o raio b, existe um material dielétrico homogêneo e isotrópico com susceptibilidade elétrica \chi_{c}. Fora de r=b há vácuo. O sistema tem simetria esférica.
O que pede o problema:
(a) Encontrar o deslocamento elétrico \mathbf{D} em todo o espaço.
(b) Encontrar o campo elétrico \mathbf{E} em todo o espaço.
(c) Calcular a energia eletrostática dessa configuração.
Informações relevantes dadas (resumindo): Q,\;a,\;b,\;\chi_{c}. Não há outros carregamentos livres além de Q no condutor.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de modo simples):
  • O dielétrico linear relaciona polarização e campo por \mathbf{P}=\epsilon_0\chi_{c}\mathbf{E}. Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Isso significa: se eu aplico um campo \mathbf{E} no dielétrico, ele cria uma polarização \mathbf{P} proporcional a \mathbf{E} com fator \epsilon_0\chi_{c}.
  • O deslocamento elétrico é definido por \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}. Para dielétrico linear homogêneo isto simplifica para \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}, onde
\epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}).
Aqui \epsilon é a permissividade do material dielétrico (uma constante).
  • A lei de Gauss para \mathbf{D} (válida em presença de dielétricos) diz
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}},
ou, em forma integral para uma superfície fechada,
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre,\,enc}}.
Isto é ótimo porque só conta a carga livre (no nosso caso, a carga Q no condutor), e pela simetria esférica o campo \mathbf{D} será radial e dependerá só de r.
  • A energia eletrostática em meios lineares pode ser escrita como
U=\tfrac{1}{2}\int_{\text{todo espaço}}\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,d\tau.ç
Usaremos essa expressão, dividindo a integral nas regiões apropriadas.

Passo 3

Cálculo do deslocamento \mathbf{D}\) usando Gauss (passo a passo): - Considere uma superfície gaussiana esférica de raio \(r\), centrada na esfera condutora. Pela simetria \(\mathbf{D}(r)=D_r(r)\,\hat{\mathbf r}\). - Fluxo através da esfera de raio \(r\) é \(\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_r(r)\,4\pi r^2\). - O lado direito é a carga livre encerrada \(Q_{\text{livre,enc}}\). Assim: - Para \(r<a\) (dentro do condutor), não há carga livre no volume interno (a carga do condutor está na superfície \(r=a\)), logo \(Q_{\text{enc}}=0\). Assim \(D_r(r)=0\). - Para \(r>a\) (qualquer superfície que envolva a superfície do condutor), a carga livre encerrada é \(Q\), logo \[D_r(r)\,4\pi r^2 = Q \quad\Rightarrow\quad D_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}.
  • Conclusão para \mathbf{D} (escrevendo de forma completa por regiões):
\mathbf{D}(r)=\begin{cases} 0, & 0\le r<a,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{\mathbf r}, & r\ge a. \end{cases}
Observação: não existe carga livre na superfície r=b\], portanto \(\mathbf{D} é contínuo atravessando r=b. (A carga ligada aparece via \mathbf{P}, não em \mathbf{D}.)]

Passo 4

Cálculo do campo elétrico \mathbf{E} a partir de \mathbf{D}, explicando cada relação:
  • Dentro do condutor ( r<a) um condutor eletrostático em equilíbrio tem \mathbf{E}=0. Então \mathbf{E}(r)=0 para r<a.
  • Para a<r<b estamos no dielétrico, onde \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E} com \epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}). Assim
\mathbf{E}(r)=\frac{\mathbf{D}(r)}{\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}\cdot\frac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{\mathbf r}.
Substituindo \epsilon,
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0(1+\chi_{c})\,r^2}\,\hat{\mathbf r},\qquad a<r<b.
  • Para r>b estamos no vácuo (ou ar) com \epsilon=\epsilon_0 e \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}. Então
\mathbf{E}(r)=\frac{\mathbf{D}(r)}{\epsilon_0}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\,\hat{\mathbf r},\qquad r>b.
  • Resumindo \mathbf{E} por regiões:
\mathbf{E}(r)=\begin{cases} 0, & 0\le r<a,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0(1+\chi_{c})\,r^2}\,\hat{\mathbf r}, & a<r<b,\\[8pt] \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0\,r^2}\,\hat{\mathbf r}, & r>b. \end{cases}]

Passo 5

Cálculo da energia U usando U=\tfrac{1}{2}\int \mathbf{E}\cdot\mathbf{D}\,d\tau. Vamos fazer passo a passo e dividir o espaço nas regiões com campo:
  • Dentro do condutor ( 0\le r<a): \mathbf{E}=\mathbf{D}=0 portanto contribuição nula.
  • Para a<r<b (dielétrico): \mathbf{D}=\dfrac{Q}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r} e \mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^2}\hat{\mathbf r} com \epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}). Então
\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}=\frac{Q}{4\pi r^2}\cdot\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}=\frac{Q^2}{16\pi^2 \epsilon r^4}.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é d\tau=4\pi r^2 dr (a integral angular dá 4\pi). Assim a contribuição desta região é
U_{a\to b}=\tfrac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{Q^2}{16\pi^2 \epsilon r^4}\,4\pi r^2 dr =\tfrac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{Q^2}{4\pi \epsilon r^2}\,dr =\frac{Q^2}{8\pi \epsilon}\Big(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Big).
  • Para b<r<\infty (vácuo): aqui \epsilon=\epsilon_0 e \mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf r}, \mathbf{D}=\dfrac{Q}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}. Analogamente,
U_{b\to\infty}=\tfrac{1}{2}\int_{b}^{\infty}\frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\,dr =\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0}\cdot\frac{1}{b}.
  • Somando as contribuições:
U=U_{a\to b}+U_{b\to\infty} =\frac{Q^2}{8\pi \epsilon}\Big(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\Big)+\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0}\cdot\frac{1}{b}.
  • Simplificamos usando \epsilon=\epsilon_0(1+\chi_{c}). Colocando sobre um denominador comum e fatorando, obtemos
U=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0(1+\chi_{c})}\cdot\frac{1}{a} +\frac{Q^2\chi_{c}}{8\pi\epsilon_0(1+\chi_{c})}\cdot\frac{1}{b}.
Uma forma compacta é
U=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{(1+\chi_{c})\,a}+\frac{\chi_{c}}{(1+\chi_{c})\,b}\right).

Passo 6

Resumo final (já bem simplificado) das três respostas pedidas, pronto para consultar rapidamente na prova.

Resposta

(a) \mathbf{D}(r)=\displaystyle\begin{cases}0, & 0\le r<a,\\[6pt]\dfrac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{\mathbf r}, & r\ge a,\end{cases}
(b) \mathbf{E}(r)=\displaystyle\begin{cases}0, & 0\le r<a,\\[6pt]\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0(1+\chi_{c})\,r^2}\,\hat{\mathbf r}, & a<r<b,\\[8pt]\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0\,r^2}\,\hat{\mathbf r}, & r>b,\end{cases}
(c) \displaystyle U=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{(1+\chi_{c})\,a}+\frac{\chi_{c}}{(1+\chi_{c})\,b}\right)]

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