Um elétron que tem velocidade
\vec{v}=\left(4 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{j}+\left(3 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) \hat{k}
penetra num campo magnético
\vec{B}=(0.03 T) \hat{j}+(0.08 T) \hat{k}.
Determine o módulo, direção e o sentido da força sobre o elétron. Obs:
e= -1,6 \times 10^{-19} C ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética que age sobre um elétron que entra num campo magnético. Dados fornecidos:
\vec{v}=\left(0\right)\hat{i}+\left(4\times10^{5}\right)\hat{j}+\left(3\times10^{5}\right)\hat{k}\\ \text{m/s}
\vec{B}=\left(0\right)\hat{i}+\left(0,03\right)\hat{j}+\left(0,08\right)\hat{k}\\ \text{T}
Carga do elétron:
e=-1,6\times10^{-19}\\ \text{C}.
Perguntas: calcular (1) o módulo da força magnética, (2) a direção (vetorial) e (3) o sentido (para onde aponta) da força sobre o elétron.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha como se eu estivesse explicando num plantão): a força magnética sobre uma carga q que se move com velocidade \vec{v} num campo \vec{B} é dada pela regra da mão direita através do produto vetorial (força de Lorentz sem campo elétrico):
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Aqui:
  • q é a carga em Coulombs;
  • \vec{v} é o vetor velocidade em m/s;
  • \vec{B} é o vetor campo magnético em tesla (T);
  • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial, que produz um vetor perpendicular a \vec{v} e \vec{B}.
Como eu ainda não confio que você fez produto vetorial hoje, vamos revisar como calcular \vec{v}\times\vec{B} em componentes: se
\vec{v}=(v_x)\hat{i}+(v_y)\hat{j}+(v_z)\hat{k},\quad \vec{B}=(B_x)\hat{i}+(B_y)\hat{j}+(B_z)\hat{k},
então
\vec{v}\times\vec{B}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ v_x & v_y & v_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} =\big(v_yB_z-v_zB_y\big)\hat{i}-\big(v_xB_z-v_zB_x\big)\hat{j}+\big(v_xB_y-v_yB_x\big)\hat{k}.
Vou aplicar isso passo a passo com os números dados.

Passo 3

Escrevo as componentes dadas explicitamente (note que v_x=0 e B_x=0):
v_x=0,\quad v_y=4\times10^{5},\quad v_z=3\times10^{5}.
B_x=0,\quad B_y=0,03,\quad B_z=0,08.
Agora uso a fórmula componente a componente.
Componente \hat{i}:
(v_yB_z-v_zB_y)=(4\times10^{5})\cdot(0,08)-(3\times10^{5})\cdot(0,03).
Componente \hat{j}:
-(v_xB_z-v_zB_x)=-(0\cdot0,08-3\times10^{5}\cdot0)= -0 = 0.
Componente \hat{k}:
(v_xB_y-v_yB_x)=0\cdot0,03-(4\times10^{5})\cdot0 = 0.

Passo 4

Faço as multiplicações na componente \hat{i} com calma:
(4\times10^{5})\cdot(0,08)=4\times10^{5}\times8\times10^{-2}=32\times10^{3}=3,2\times10^{4}.
(3\times10^{5})\cdot(0,03)=3\times10^{5}\times3\times10^{-2}=9\times10^{3}=9,0\times10^{3}.
Subtraindo:
v_yB_z-v_zB_y=3,2\times10^{4}-9,0\times10^{3}=2,3\times10^{4}.
Portanto o produto vetorial é
\vec{v}\times\vec{B}=(2,3\times10^{4})\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}=(2,3\times10^{4})\hat{i}.
Observação física: isso significa que o vetor \vec{v}\times\vec{B} aponta ao longo de \hat{i} (eixo x positivo).

Passo 5

Agora multiplico pelo valor da carga para obter a força. A carga do elétron é negativa, então o sentido da força será oposto ao de \vec{v}\times\vec{B}:
\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}=(-1,6\times10^{-19})\cdot(2,3\times10^{4})\hat{i}.
Faço a multiplicação numérica:
-1,6\times10^{-19}\times2,3\times10^{4}=-(1,6\times2,3)\times10^{-19+4}=-(3,68)\times10^{-15}.
Portanto
\vec{F}=-(3,68\times10^{-15})\hat{i}\\ \text{N}.

Passo 6

Interpretação final (módulo, direção e sentido):
  • Módulo (valor absoluto da força):
|\vec{F}|=3,68\times10^{-15}\\ \text{N}.
  • Direção: ao longo do eixo x (ou seja, na direção de \hat{i} ou -\hat{i}); o vetor calculado é ao longo de \hat{i}.
  • Sentido: como a carga é negativa, a força aponta no sentido oposto ao de \vec{v}\times\vec{B}. Como \vec{v}\times\vec{B} aponta em +\hat{i}, a força sobre o elétron aponta em -\hat{i} (eixo x negativo).

Resposta

Módulo: 3,68\times10^{-15}\\ \text{N}
Direção: ao longo de \hat{i} (eixo x)
Sentido: no sentido de -\hat{i} (para o lado negativo do eixo x)

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