( 10 pts) Um disco rígido gira em torno de um eixo fixo perpendicular ao seu plano. A posição angular do disco como função do tempo é dada por
a) (4 pts) Determine a velocidade angular
e a aceleração angular
do disco como função do tempo.
b) (3 pts) Calcule a aceleração angular do disco nos instantes de tempo em que sua velocidade angular é zero.
c) (3 pts) Quantas revoluções o disco realizou entre os instantes de tempo
e
?
b) (3 pts) Calcule a aceleração angular do disco nos instantes de tempo em que sua velocidade angular é zero.
c) (3 pts) Quantas revoluções o disco realizou entre os instantes de tempo
Passo 1
O enunciado dá a posição angular do disco em função do tempo:
As perguntas são:
(a) Determinar a velocidade angular e a aceleração angular
como função do tempo.
(b) Calcular a aceleração angular nos instantes em que a velocidade angular é zero.
(c) Determinar quantas revoluções o disco fez entre e
.
(a) Determinar a velocidade angular
(b) Calcular a aceleração angular nos instantes em que a velocidade angular é zero.
(c) Determinar quantas revoluções o disco fez entre
Passo 2
Vamos lembrar (calma, vou explicar direitinho) o que é cada coisa e como calcular:
- A posição angular
tem unidades de radianos ( ). - A velocidade angular
é a taxa de variação da posição angular no tempo; matematicamente é a derivada de em relação a :
As unidades de
são
.
- A aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular; é a derivada de em relação a , ou a segunda derivada de :
As unidades de
são
.
Dica prática de derivação (para usar na prova): derivando termo a termo,
- Se
(constante), sua derivada é . - Se
, então .
Sempre preserve as unidades ao final.
Passo 3
Agora derivamos
para obter
. Partindo de
derivamos termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto, juntando:
Podemos factorizar para ficar mais limpinho:
Passo 4
Agora derivamos
para obter
. Partimos de
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é (unidade ). - Derivada de
é (unidade ).
Somando:
Ou, escrevendo numa forma mais usual,
Passo 5
(b) Precisamos dos instantes em que
e então calcular
nesses instantes.
Igualando
a zero:
Agora avaliamos
em cada instante:
- Em
:
- Em
:
Interpretação curta (pra te animar): em
a velocidade é zero e a aceleração é negativa (o disco tende a ganhar velocidade no sentido negativo); em
a velocidade é novamente zero mas agora a aceleração é positiva (vai acelerar no sentido positivo).
Passo 6
(c) Quantas revoluções entre
e
?
Raciocínio: o número de revoluções é a variação da posição angular dividida por
(uma volta =
). Então calculamos
.
Primeiro
:
Agora
:
Calcule passo a passo:
Logo
A variação é
Número de revoluções
:
Se quiser um valor numérico aproximado, usando
:
Resposta
(a)
(b)
(c)