( 10 pts) Um disco rígido gira em torno de um eixo fixo perpendicular ao seu plano. A posição angular do disco como função do tempo é dada por
\theta(t)=4 \mathrm{rad}-\left(3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2}+\left(2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{3}
a) (4 pts) Determine a velocidade angular \omega e a aceleração angular \alpha do disco como função do tempo.
b) (3 pts) Calcule a aceleração angular do disco nos instantes de tempo em que sua velocidade angular é zero.
c) (3 pts) Quantas revoluções o disco realizou entre os instantes de tempo t=0 e t=6 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição angular do disco em função do tempo:
\theta(t)=4\\ \mathrm{rad}-\left(3\\ \mathrm{rad/s^{2}}\right)t^{2}+\left(2\\ \mathrm{rad/s^{3}}\right)t^{3}.
As perguntas são:
(a) Determinar a velocidade angular \omega(t) e a aceleração angular \alpha(t) como função do tempo.
(b) Calcular a aceleração angular nos instantes em que a velocidade angular é zero.
(c) Determinar quantas revoluções o disco fez entre t=0 e t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos lembrar (calma, vou explicar direitinho) o que é cada coisa e como calcular:
  • A posição angular \theta(t) tem unidades de radianos ( \mathrm{rad}).
  • A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação da posição angular no tempo; matematicamente é a derivada de \theta(t) em relação a t:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
As unidades de \omega são \mathrm{rad/s}.
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular; é a derivada de \omega(t) em relação a t, ou a segunda derivada de \theta(t):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
As unidades de \alpha são \mathrm{rad/s^{2}}.
Dica prática de derivação (para usar na prova): derivando termo a termo,
  • Se \theta(t)=C (constante), sua derivada é 0.
  • Se \theta(t)=a t^{n}, então \dfrac{d\theta}{dt}=a n t^{n-1}.
    Sempre preserve as unidades ao final.

Passo 3

Agora derivamos \theta(t) para obter \omega(t). Partindo de
\theta(t)=4\\ \mathrm{rad}-\left(3\\ \mathrm{rad/s^{2}}\right)t^{2}+\left(2\\ \mathrm{rad/s^{3}}\right)t^{3},
derivamos termo a termo:
  • Derivada de 4\\ \mathrm{rad} é 0.
  • Derivada de -\left(3\\ \mathrm{rad/s^{2}}\right)t^{2} é -3\cdot 2\\ t\\ \mathrm{rad/s} = -6t\\ \mathrm{rad/s}.
  • Derivada de \left(2\\ \mathrm{rad/s^{3}}\right)t^{3} é 2\cdot 3\\ t^{2}\\ \mathrm{rad/s} = 6t^{2}\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto, juntando:
\omega(t)= -6t + 6t^{2}\quad\mathrm{rad/s}.
Podemos factorizar para ficar mais limpinho:
\omega(t)=6t(t-1)\quad\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora derivamos \omega(t) para obter \alpha(t). Partimos de
\omega(t)=-6t+6t^{2}.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de -6t é -6 (unidade \mathrm{rad/s^{2}}).
  • Derivada de 6t^{2} é 6\cdot 2 t =12t (unidade \mathrm{rad/s^{2}}).
Somando:
\alpha(t)=-6+12t\quad\mathrm{rad/s^{2}}.
Ou, escrevendo numa forma mais usual,
\alpha(t)=12t-6\quad\mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 5

(b) Precisamos dos instantes em que \omega(t)=0 e então calcular \alpha nesses instantes.
Igualando \omega(t) a zero:
\omega(t)=6t(t-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\\ \text{ou}\\ t=1\\ \mathrm{s}.
Agora avaliamos \alpha(t)=12t-6 em cada instante:
  • Em t=0:
\alpha(0)=12\cdot 0 -6 = -6\quad\mathrm{rad/s^{2}}.
  • Em t=1:
\alpha(1)=12\cdot 1 -6 = 6\quad\mathrm{rad/s^{2}}.
Interpretação curta (pra te animar): em t=0 a velocidade é zero e a aceleração é negativa (o disco tende a ganhar velocidade no sentido negativo); em t=1 a velocidade é novamente zero mas agora a aceleração é positiva (vai acelerar no sentido positivo).

Passo 6

(c) Quantas revoluções entre t=0 e t=6\\ \mathrm{s}?
Raciocínio: o número de revoluções é a variação da posição angular dividida por 2\pi (uma volta = 2\pi\\ \mathrm{rad}). Então calculamos \Delta\theta=\theta(6)-\theta(0).
Primeiro \theta(0):
\theta(0)=4\\ \mathrm{rad}-3\cdot 0^{2}+2\cdot 0^{3}=4\\ \mathrm{rad}.
Agora \theta(6):
\theta(6)=4\\ \mathrm{rad}-3\cdot 6^{2}+2\cdot 6^{3}.
Calcule passo a passo:
6^{2}=36,\quad 3\cdot 36=108.
6^{3}=216,\quad 2\cdot 216=432.
Logo
\theta(6)=4 - 108 + 432 = 328\\ \mathrm{rad}.
A variação é
\Delta\theta=\theta(6)-\theta(0)=328-4=324\\ \mathrm{rad}.
Número de revoluções N:
N=\frac{\Delta\theta}{2\pi}=\frac{324}{2\pi}=\frac{162}{\pi}.
Se quiser um valor numérico aproximado, usando \pi\approx3{,}14159:
N\approx\frac{162}{3{,}14159}\approx51{,}59\\ \text{revoluções}.çõ

Resposta

(a) \displaystyle \omega(t)=6t^{2}-6t\\ \mathrm{rad/s},\quad \alpha(t)=12t-6\\ \mathrm{rad/s^{2}}
(b) \displaystyle \alpha(0)=-6\\ \mathrm{rad/s^{2}}
\displaystyle \alpha(1)=6\\ \mathrm{rad/s^{2}}
(c) \displaystyle N=\frac{162}{\pi}\\ \text{revoluções}\approx51{,}59\\ \text{revoluções}çõçõ

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