9.52 Uma escada uniforme de
e massa de
está recostada em uma parede vertical formando um ângulo de
relação ao solo. Um operário empurra a escada contra a parede, deixando-a na posição vertical. Quanto trabalho essa pessoa realizou contra a gravidade?
Passo 1
O enunciado dá uma escada uniforme de comprimento
e massa
, inicialmente recostada na parede formando um ângulo de
com o solo. A escada é levada até a posição vertical (isto é,
em relação ao solo). A pergunta é: quanto trabalho a pessoa realizou contra a gravidade ao deslocar a escada dessa posição inclinada para a vertical?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Comprimento da escada:
. - Massa da escada:
. - Ângulo inicial com o solo:
. - Ângulo final com o solo:
. - A escada é uniforme (portanto o centro de massa está no meio do comprimento).
- Pedem o trabalho realizado contra a gravidade (isto é, aumento da energia potencial gravitacional).
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicação didática):
- Para um corpo sujeito à gravidade perto da superfície da Terra, a energia potencial gravitacional é dada por
, onde: -
é a massa do objeto (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ; usamos como valor padrão), -
é a altura do centro de massa acima de uma referência (em ).
-
- Como a escada é rígida e uniforme, basta seguir o movimento do seu centro de massa. O trabalho que a pessoa faz contra a gravidade ao levantar a escada desde a posição inicial até a final é igual ao aumento da energia potencial gravitacional do centro de massa:
onde é a variação de altura do centro de massa.
Passo 3
Localização do centro de massa e altura inicial:
- Para uma barra uniforme de comprimento
, o centro de massa está no ponto médio, a uma distância da base da escada (ao longo da escada). - A altura vertical do centro de massa quando a escada faz um ângulo
com o solo é Aqui é a distância do pé da escada até o centro de massa medida ao longo da escada, e converte essa distância na componente vertical. - Então a altura inicial do centro de massa é
Passo 4
Altura final do centro de massa:
- Quando a escada está vertical (
), temos . Assim
Passo 5
Cálculo da variação de altura
:
Agora substituímos os valores numéricos (pegando
e
). Para
usamos a aproximação usual
.
Passo 6
Cálculo do trabalho
:
- Explicando as variáveis novamente:
, , . - Substituindo:
Fazendo as contas passo a passo:
(Arredondamento final apropriado: dados iniciais têm duas casas significativas em massa e comprimento, então o resultado com duas ou três cifras significativas é
.)
Passo 7
Interpretação e observação final (motivação):
- O trabalho é positivo porque a pessoa levantou a escada contra a gravidade, aumentando a energia potencial do sistema.
- Valor obtido é pequeno (algumas dezenas de joules) porque somente o centro de massa subiu cerca de
; levantar todo o comprimento da escada não foi necessário. Força e deslocamento variam durante o movimento, mas para trabalho contra peso só importa a variação de altura do centro de massa.