9.52 Uma escada uniforme de 2,0 \mathrm{~m} e massa de 9,0 \mathrm{~kg} está recostada em uma parede vertical formando um ângulo de 53,0^{\circ} \mathrm{em} relação ao solo. Um operário empurra a escada contra a parede, deixando-a na posição vertical. Quanto trabalho essa pessoa realizou contra a gravidade?

Passo 1

O enunciado dá uma escada uniforme de comprimento \,2{,}0\\ \mathrm{m}\, e massa \,9{,}0\\ \mathrm{kg}\,, inicialmente recostada na parede formando um ângulo de \,53{,}0^\circ\, com o solo. A escada é levada até a posição vertical (isto é, \,90^\circ\, em relação ao solo). A pergunta é: quanto trabalho a pessoa realizou contra a gravidade ao deslocar a escada dessa posição inclinada para a vertical?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Comprimento da escada: \,L=2{,}0\\ \mathrm{m}\,.
  • Massa da escada: \,m=9{,}0\\ \mathrm{kg}\,.
  • Ângulo inicial com o solo: \,\theta_i=53{,}0^\circ\,.
  • Ângulo final com o solo: \,\theta_f=90{,}0^\circ\,.
  • A escada é uniforme (portanto o centro de massa está no meio do comprimento).
  • Pedem o trabalho realizado contra a gravidade (isto é, aumento da energia potencial gravitacional).

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicação didática):
  • Para um corpo sujeito à gravidade perto da superfície da Terra, a energia potencial gravitacional é dada por \,U=m g h\,, onde:
    • \,m\, é a massa do objeto (em \mathrm{kg}),
    • \,g\, é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}; usamos \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, como valor padrão),
    • \,h\, é a altura do centro de massa acima de uma referência (em \mathrm{m}).
  • Como a escada é rígida e uniforme, basta seguir o movimento do seu centro de massa. O trabalho que a pessoa faz contra a gravidade ao levantar a escada desde a posição inicial até a final é igual ao aumento da energia potencial gravitacional do centro de massa: W = \Delta U = m g \Delta h,onde \,\Delta h = h_f - h_i\, é a variação de altura do centro de massa.

Passo 3

Localização do centro de massa e altura inicial:
  • Para uma barra uniforme de comprimento \,L\,, o centro de massa está no ponto médio, a uma distância \,L/2\, da base da escada (ao longo da escada).
  • A altura vertical do centro de massa quando a escada faz um ângulo \,\theta\, com o solo é h(\theta)=\frac{L}{2}\sin\theta.Aqui \,L/2\, é a distância do pé da escada até o centro de massa medida ao longo da escada, e \sin\theta converte essa distância na componente vertical.
  • Então a altura inicial do centro de massa é h_i = \frac{L}{2}\sin\theta_i.

Passo 4

Altura final do centro de massa:
  • Quando a escada está vertical ( \,\theta_f=90{,}0^\circ\,), temos \sin 90{,}0^\circ = 1. Assim h_f = \frac{L}{2}\sin 90{,}0^\circ = \frac{L}{2}\cdot 1 = \frac{L}{2}.

Passo 5

Cálculo da variação de altura \,\Delta h\,:
\Delta h = h_f - h_i = \frac{L}{2}\bigl(1 - \sin\theta_i\bigr).
Agora substituímos os valores numéricos (pegando \,L=2{,}0\\ \mathrm{m}\, e \,\theta_i=53{,}0^\circ). Para \sin 53{,}0^\circ usamos a aproximação usual \,\sin 53{,}0^\circ \approx 0{,}7986\,.
\frac{L}{2}= \frac{2{,}0}{2}=1{,}0\\ \mathrm{m}, \qquad \Delta h = 1{,}0\bigl(1 - 0{,}7986\bigr)=1{,}0\times 0{,}2014=0{,}2014\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo do trabalho W = m g \Delta h:
  • Explicando as variáveis novamente: \,m=9{,}0\\ \mathrm{kg}, \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, \,\Delta h=0{,}2014\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo:
W = m g \Delta h = 9{,}0\times 9{,}8 \times 0{,}2014.
Fazendo as contas passo a passo:
9{,}0\times 9{,}8 = 88{,}2,
88{,}2\times 0{,}2014 \approx 17{,}8\\ \mathrm{J}.
(Arredondamento final apropriado: dados iniciais têm duas casas significativas em massa e comprimento, então o resultado com duas ou três cifras significativas é \,17{,}8\\ \mathrm{J}\,.)

Passo 7

Interpretação e observação final (motivação):
  • O trabalho é positivo porque a pessoa levantou a escada contra a gravidade, aumentando a energia potencial do sistema.
  • Valor obtido é pequeno (algumas dezenas de joules) porque somente o centro de massa subiu cerca de 0{,}20\\ \mathrm{m}; levantar todo o comprimento da escada não foi necessário. Força e deslocamento variam durante o movimento, mas para trabalho contra peso só importa a variação de altura do centro de massa.

Resposta

\,17{,}8\\ \mathrm{J}\,

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