Uma caixa de
está sobre uma rampa inclinada em
sem atrito. Ela está ligada por uma corda que passa por uma polia a uma mola de constante elástica
. A caixa parte do repouso com a mola em posição de equilíbrio. Assuma que as massas da polia e a corda sejam desprezíveis.
a) Calcule a distância máxima que a caixa percorre ao longo da rampa até parar momentaneamente.
b) Calcule a velocidade quando a caixa tiver descido uma distância
ao longo da rampa.
c) Calcule a aceleração da caixa quando ela para momentaneamente. Considere aceleração positiva se for subindo a rampa, e negativa se for descendo.
a) Calcule a distância máxima que a caixa percorre ao longo da rampa até parar momentaneamente.
b) Calcule a velocidade quando a caixa tiver descido uma distância
c) Calcule a aceleração da caixa quando ela para momentaneamente. Considere aceleração positiva se for subindo a rampa, e negativa se for descendo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- massa da caixa:
. - inclinação da rampa:
. - constante elástica da mola:
. - a mola está inicialmente em sua posição de equilíbrio (não esticada).
- não há atrito; polia e corda de massa desprezíveis.
- aceleração da gravidade: usarei
(valor usual).
- massa da caixa:
- O que o enunciado pede:
(a) a distância máximaque a caixa desce ao longo da rampa até parar momentaneamente;
(b) a velocidade da caixa depois de descer a distânciaao longo da rampa;
(c) a aceleração da caixa no instante em que ela para momentaneamente (convenção: aceleração positiva se for subindo a rampa, negativa se for descendo).
Passo 2
Escolha do método e ideias principais (explicação didática).
- Aqui não há atrito e a mola armazena energia elástica. Isso sugere usar conservação de energia mecânica: a energia perdida em energia potencial gravitacional (ou trabalho da gravidade) vai para energia elástica da mola e energia cinética.
- Importante: quando a caixa desce uma distância
ao longo da rampa ela baixa verticalmente uma altura . O trabalho realizado pela gravidade ao deslizar essa distância é . - A energia armazenada na mola ao ser esticada de
é . Aqui o alongamento da mola é exatamente igual ao deslocamento da caixa (corda inextensível, polia ideal), então . - Conservação de energia entre início (repouso, mola em equilíbrio) e um instante qualquer após descer
: Em fórmula: Vou usar essa equação para responder (a) e (b). Para (c) usarei as forças ao longo da rampa (segunda lei de Newton) com a convenção de sinal pedida.
Passo 3
Cálculo da distância máxima
até parar momentaneamente (parte a).
- No ponto de máximo alongamento a velocidade é zero:
. Então da equação de energia: - Coloco tudo num lado e fatoro
: A solução trivial é o ponto inicial; a solução não-trivial vem de - Agora calculo numericamente. Primeiro a componente gravitacional ao longo da rampa:
Uso , então Portanto - Arredondando adequadamente:
.
Passo 4
Cálculo da velocidade depois de descer
(parte b).
- Use a equação de energia para deslocamento
: - Isolo
: - Substituo números (já calculei
):
Então a energia cinética:
Assim
- Interpretação de sinal: a caixa está descendo a rampa, logo a velocidade é dirigida para baixo. Se for necessário um sinal relativo à convenção do item (c) (positiva para subir) a velocidade é negativa:
. Se pedirem apenas a velocidade escalar (rapidez), vale para baixo.
Passo 5
Cálculo da aceleração quando a caixa para momentaneamente (parte c).
- No instante em que a caixa pára momentaneamente (máximo alongamento
) a velocidade é zero, mas a aceleração não é necessariamente zero. Vou aplicar a segunda lei de Newton ao longo da rampa. - Convenção pedida: aceleração positiva se for subindo a rampa, negativa se for descendo. Logo escolho a direção positiva para cima da rampa.
- Forças ao longo da rampa:
- componente do peso apontando para baixo da rampa:
(negativo porque aponta para baixo). - força da mola sobre a caixa aponta para cima da rampa (pois a mola está esticada):
.
- componente do peso apontando para baixo da rampa:
- Resultante:
Pela segunda lei: - Uso o valor teórico de
. Substituindo: Portanto - Numericamente:
- Como escolhemos positivo para cima da rampa, e o resultado é positivo, a aceleração no ponto de virada é dirigida para cima da rampa (a mola puxa a caixa de volta). Então