Uma caixa de 2,00 \mathrm{~kg} está sobre uma rampa inclinada em \theta=40,0^{\circ} sem atrito. Ela está ligada por uma corda que passa por uma polia a uma mola de constante elástica \mathrm{k}=120 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. A caixa parte do repouso com a mola em posição de equilíbrio. Assuma que as massas da polia e a corda sejam desprezíveis.
a) Calcule a distância máxima que a caixa percorre ao longo da rampa até parar momentaneamente.
b) Calcule a velocidade quando a caixa tiver descido uma distância \mathrm{d}=0,105 \mathrm{~m} ao longo da rampa.
c) Calcule a aceleração da caixa quando ela para momentaneamente. Considere aceleração positiva se for subindo a rampa, e negativa se for descendo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa da caixa: m=2{,}00\\ \mathrm{kg}.
    • inclinação da rampa: \theta=40{,}0^\circ.
    • constante elástica da mola: k=120\\ \mathrm{N/m}.
    • a mola está inicialmente em sua posição de equilíbrio (não esticada).
    • não há atrito; polia e corda de massa desprezíveis.
    • aceleração da gravidade: usarei g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} (valor usual).
  • O que o enunciado pede:
    (a) a distância máxima \,s_{\max}\, que a caixa desce ao longo da rampa até parar momentaneamente;
    (b) a velocidade da caixa depois de descer a distância d=0{,}105\\ \mathrm{m} ao longo da rampa;
    (c) a aceleração da caixa no instante em que ela para momentaneamente (convenção: aceleração positiva se for subindo a rampa, negativa se for descendo).

Passo 2

Escolha do método e ideias principais (explicação didática).
  • Aqui não há atrito e a mola armazena energia elástica. Isso sugere usar conservação de energia mecânica: a energia perdida em energia potencial gravitacional (ou trabalho da gravidade) vai para energia elástica da mola e energia cinética.
  • Importante: quando a caixa desce uma distância s ao longo da rampa ela baixa verticalmente uma altura h = s\sin\theta. O trabalho realizado pela gravidade ao deslizar essa distância é W_g = mg h = mg\sin\theta\; s.
  • A energia armazenada na mola ao ser esticada de x é U_{\text{mola}}=\dfrac{1}{2}kx^2. Aqui o alongamento da mola é exatamente igual ao deslocamento s da caixa (corda inextensível, polia ideal), então x=s.
  • Conservação de energia entre início (repouso, mola em equilíbrio) e um instante qualquer após descer s: \text{energia cinética final} = \text{trabalho da gravidade} - \text{energia elástica acumulada}.éáEm fórmula: \frac{1}{2} m v^2 = mg\sin\theta\; s - \frac{1}{2} k s^2.Vou usar essa equação para responder (a) e (b). Para (c) usarei as forças ao longo da rampa (segunda lei de Newton) com a convenção de sinal pedida.

Passo 3

Cálculo da distância máxima s_{\max} até parar momentaneamente (parte a).
  • No ponto de máximo alongamento a velocidade é zero: v=0. Então da equação de energia: 0 = mg\sin\theta\; s_{\max} - \frac{1}{2}k s_{\max}^2.
  • Coloco tudo num lado e fatoro s_{\max}: \frac{1}{2}k s_{\max}^2 - mg\sin\theta\; s_{\max} = 0 \quad\Rightarrow\quad s_{\max}\left(\frac{1}{2}k s_{\max} - mg\sin\theta\right)=0.A solução trivial s_{\max}=0 é o ponto inicial; a solução não-trivial vem de \frac{1}{2}k s_{\max} - mg\sin\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad s_{\max} = \frac{2mg\sin\theta}{k}.
  • Agora calculo numericamente. Primeiro a componente gravitacional ao longo da rampa: mg\sin\theta = (2{,}00)(9{,}80)\sin(40{,}0^\circ).Uso \sin(40{,}0^\circ)\approx0,6427876, então mg\sin\theta \approx 2{,}00\cdot 9{,}80\cdot 0,6427876 \approx 12{,}5967\\ \mathrm{N}.Portanto s_{\max} = \frac{2\cdot 12{,}5967}{120} \approx 0{,}20995\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando adequadamente: s_{\max}\approx 0{,}210\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da velocidade depois de descer d=0{,}105\\ \mathrm{m} (parte b).
  • Use a equação de energia para deslocamento s=d: \frac{1}{2} m v^2 = mg\sin\theta\; d - \frac{1}{2} k d^2.
  • Isolo v: v = \sqrt{\frac{2}{m}\left( mg\sin\theta\; d - \frac{1}{2} k d^2\right)}.
  • Substituo números (já calculei mg\sin\theta\approx 12{,}5967\\ \mathrm{N}): mg\sin\theta\; d \approx 12{,}5967\cdot 0{,}105 \approx 1{,}32265\\ \mathrm{J},
\frac{1}{2}kd^2 = 0{,}5\cdot 120\cdot (0{,}105)^2 = 60\cdot 0{,}011025 = 0{,}66150\\ \mathrm{J}.
Então a energia cinética:
\frac{1}{2} m v^2 \approx 1{,}32265 - 0{,}66150 = 0{,}66115\\ \mathrm{J}.
Assim
v^2 = \frac{2\cdot 0{,}66115}{2{,}00} = 0{,}66115, \quad\Rightarrow\quad v \approx \sqrt{0{,}66115} \approx 0{,}8132\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação de sinal: a caixa está descendo a rampa, logo a velocidade é dirigida para baixo. Se for necessário um sinal relativo à convenção do item (c) (positiva para subir) a velocidade é negativa: v\approx -0{,}813\\ \mathrm{m/s}. Se pedirem apenas a velocidade escalar (rapidez), vale 0{,}813\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 5

Cálculo da aceleração quando a caixa para momentaneamente (parte c).
  • No instante em que a caixa pára momentaneamente (máximo alongamento s_{\max}) a velocidade é zero, mas a aceleração não é necessariamente zero. Vou aplicar a segunda lei de Newton ao longo da rampa.
  • Convenção pedida: aceleração positiva se for subindo a rampa, negativa se for descendo. Logo escolho a direção positiva para cima da rampa.
  • Forças ao longo da rampa:
    • componente do peso apontando para baixo da rampa: F_g = -mg\sin\theta (negativo porque aponta para baixo).
    • força da mola sobre a caixa aponta para cima da rampa (pois a mola está esticada): F_{\text{mola}} = +k s_{\max}.
  • Resultante: F_{\text{res}} = F_{\text{mola}} + F_g = k s_{\max} - mg\sin\theta.Pela segunda lei: a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{k s_{\max} - mg\sin\theta}{m}.
  • Uso o valor teórico de s_{\max}=\dfrac{2mg\sin\theta}{k}. Substituindo: k s_{\max} = k\cdot \frac{2mg\sin\theta}{k} = 2mg\sin\theta.Portanto a = \frac{2mg\sin\theta - mg\sin\theta}{m} = \frac{mg\sin\theta}{m} = g\sin\theta.
  • Numericamente: a = g\sin\theta \approx 9{,}80\cdot 0{,}6427876 \approx 6{,}3003\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Como escolhemos positivo para cima da rampa, e o resultado é positivo, a aceleração no ponto de virada é dirigida para cima da rampa (a mola puxa a caixa de volta). Então a \approx +6{,}30\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

s_{\max}=0{,}210\\ \mathrm{m}
v=0{,}813\\ \mathrm{m/s} (para baixo; se for usar o sinal com a convenção do item (c): v\approx -0{,}813\\ \mathrm{m/s})
a=+6{,}30\\ \mathrm{m/s^2} (positiva = subindo a rampa)

Exercícios relacionados