(10 pts) Um esportista nada rio acima a uma distância de
e volta ao ponto de partida. Sua capacidade física lhe permite nadar a uma velocidade constante de
em relação ao solo. Quanto tempo leva para o nadador completar o percurso:
a) (4 pts) caso não haja correnteza no rio?
b) ( 6 pts) Se a água o rio possuir uma correnteza para baixo com velocidade constante de
?
a) (4 pts) caso não haja correnteza no rio?
b) ( 6 pts) Se a água o rio possuir uma correnteza para baixo com velocidade constante de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Distância percorrida rio acima até o ponto de virada:
. - O nadador tem velocidade constante de
(o enunciado diz “em relação ao solo”). - (No item b) a água tem correnteza para baixo (no sentido do rio) com velocidade constante de
.
Perguntas:
a) Quanto tempo o nadador leva para completar o percurso de ida e volta se não há correnteza?
b) Quanto tempo ele leva para completar o mesmo percurso se há correnteza de rio abaixo?
a) Quanto tempo o nadador leva para completar o percurso de ida e volta se não há correnteza?
b) Quanto tempo ele leva para completar o mesmo percurso se há correnteza de
Passo 2
Interpretação necessária (explicação do que escolhi fazer): para que a pergunta (b) faça sentido como problema clássico de correnteza, vamos interpretar que a velocidade
é a velocidade do nadador relativa à água (ou seja, sua “capacidade física” nadando na água). Isso é o entendimento usual desses problemas e permite combinar a velocidade do nadador com a velocidade da corrente para obter a velocidade em relação ao solo. Se tivéssemos tomado literalmente “em relação ao solo”, a corrente não mudaria o tempo e a parte (b) seria sem sentido prático. Vou, portanto, usar a interpretação usual: velocidade do nadador relativa à água
e velocidade da corrente
(quando presente).
Passo 3
Conversão de unidades e distância total do percurso (coisa simples, mas importante):
- A distância de
corresponde a
- Ida e volta totalizam
Passo 4
Fórmula básica que vamos usar (aula rápida): tempo, velocidade e distância.
- A relação fundamental é
onde
é o tempo (em segundos, se
em metros e
em metros por segundo),
é a distância percorrida e
é a velocidade média ao longo dessa distância.
- Explicando as variáveis:
é quanto se anda (m), é a rapidez ao qual se desloca em relação ao solo (m/s). Em problemas com correnteza, o que conta na fórmula é a velocidade do nadador em relação ao solo (resultado da soma vetorial da velocidade relativa à água e da velocidade da corrente).
Passo 5
Resolução do item (a) — caso sem correnteza:
- Se não há correnteza, a velocidade do nadador em relação ao solo é igual à sua velocidade relativa à água, ou seja
- A distância total é
. Então o tempo total é
- Calculemos sem usar calculadora de forma exata em fração:
, logo
- Em valor decimal isso é
.
Passo 6
Converter o tempo do item (a) para minutos e segundos (útil numa prova):
- Dividindo por
para transformar segundos em minutos:
-
minutos e resto minuto. -
minuto em segundos é . - Portanto, o tempo é
minutos e segundos (aproximação).
Passo 7
Resolução do item (b) — caso com correnteza de
:
- Primeiro a regra de composição de velocidades (mini-aula): se um objeto tem velocidade em relação à água
e a água se move em relação ao solo com velocidade , a velocidade do objeto em relação ao solo é a soma vetorial: - indo rio acima (contra a corrente), a componente na direção do rio é
. - indo rio abaixo (com a corrente), a componente é
.
- indo rio acima (contra a corrente), a componente na direção do rio é
- Aqui as direções são colineares (só sentido contrário ou a favor), então a soma vetorial reduz a soma algébrica.
Passo 8
Calcular as velocidades efetivas em relação ao solo:
- Com
e ,
- Note: é importante checar que
; se fosse negativo o nadador não conseguiria ir contra a corrente.
Passo 9
Calcular os tempos de ida (rio acima) e volta (rio abaixo) separadamente:
- Tempo indo contra a corrente (ida), distância
:
Escrevendo exatamente:
então
- Tempo indo com a corrente (volta), distância
:
Com
,
Passo 10
Somar os tempos do item (b) para obter o tempo total:
- Soma exata em frações:
- Calculemos o somatório dentro do parêntese com denominador comum
:
- Logo
Passo 11
Converter o tempo do item (b) para minutos e segundos:
- Em minutos: dividir por
:
- Isso é
minutos mais minuto; convertendo a parte fracionária para segundos:
- Portanto, aproximadamente
minutos e segundos.
Resposta
a)
b)
b)