Escolha quatro equações e , em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
e^{-t} y^{\prime}+e f^{\prime} y=5 t
e^{-t} y^{\prime}+e f^{\prime} y=5 t
Passo 1
Vou escolher quatro equações diferenciais de primeira ordem (cada uma com um estilo levemente diferente) e, em cada caso, resolver passo a passo citando o método aplicado. As quatro equações escolhidas são:\n
Passo 2
Equação (I):
.\n
Primeiro vamos simplificar: como para todo
, podemos dividir a equação inteira por
sem problemas. Isso nos dá
Primeiro vamos simplificar: como
Método aplicado: método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Vou lembrar a ideia antes de aplicar: para uma equação linear da forma
o fator integrante é
. Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo numa derivada exata
, o que facilita integrar.\n
Aqui , logo
Aqui
Multiplicando a equação simplificada por
:
O lado esquerdo é
. Portanto
Agora integramos em
. Precisamos calcular
. Vou fazer por partes: seja
e
. Então
e
. Assim
Multiplicando por
:
Portanto
Dividindo por
:
Essa é a solução geral da equação (I). Comentário amigo: a parte particular veio da integral por partes; a solução geral soma essa parte particular com a solução da homogênea
.
Passo 3
Equação (II):
.\n
Método aplicado: novamente fator integrante (é a ferramenta natural para equações lineares de primeira ordem). Aqui , então
Método aplicado: novamente fator integrante (é a ferramenta natural para equações lineares de primeira ordem). Aqui
Multiplicando:
O lado esquerdo é
. Assim
Integramos:
Dividindo por
:
Dica prática para prova: decorar o padrão
e checar sempre se o lado esquerdo vira
.
Passo 4
Equação (III):
.\n
Método aplicado: fator integrante novamente. Aqui . Calculamos
Método aplicado: fator integrante novamente. Aqui
já que
(isso garante que
está bem definido). Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é
. Portanto
Integramos:
Multiplicando por
:
Observação: aqui a solução homogênea é
porque a homogênea
tem solução
.
Passo 5
Equação (IV):
.\n
Método aplicado: fator integrante com atenção às funções trigonométricas. Aqui . Calculamos
Método aplicado: fator integrante com atenção às funções trigonométricas. Aqui
onde usei a primitiva
. Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é
. O lado direito simplifica:
. Então
Integramos:
Multiplicando por
(lembrando que
no domínio):
Essa é a solução geral no intervalo onde
não zera. Nota prática: sempre verificar domínio quando aparecem
.