Escolha quatro equações e , em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
e^{-t} y^{\prime}+e f^{\prime} y=5 t

Passo 1

Vou escolher quatro equações diferenciais de primeira ordem (cada uma com um estilo levemente diferente) e, em cada caso, resolver passo a passo citando o método aplicado. As quatro equações escolhidas são:\n
\text{(I)}\quad e^{-t}\,y'(t)+e^{-t}\,y(t)=5t\n
\text{(II)}\quad y'(t)+2y(t)=e^{-t}\n
\text{(III)}\quad y'(t)-\frac{1}{t}y(t)=t^{2},\quad t>0\n
\text{(IV)}\quad y'(t)+y(t)\tan t=\sin t,\quad \cos t\neq 0

Passo 2

Equação (I): \;e^{-t}\,y'(t)+e^{-t}\,y(t)=5t.\n
Primeiro vamos simplificar: como e^{-t}>0 para todo t, podemos dividir a equação inteira por e^{-t} sem problemas. Isso nos dá
y'(t)+y(t)=5t\,e^{t}.
Método aplicado: método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Vou lembrar a ideia antes de aplicar: para uma equação linear da forma
y'(t)+p(t)y(t)=q(t),
o fator integrante é \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu(t) transformamos o lado esquerdo numa derivada exata \big(\mu(t)y(t)\big)', o que facilita integrar.\n
Aqui p(t)=1, logo
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Multiplicando a equação simplificada por \mu(t):
e^{t}y'(t)+e^{t}y(t)=5t\,e^{2t}.
O lado esquerdo é \big(e^{t}y(t)\big)'. Portanto
\big(e^{t}y(t)\big)'=5t\,e^{2t}.
Agora integramos em t. Precisamos calcular \int 5t\,e^{2t}\,dt. Vou fazer por partes: seja u=t e dv=e^{2t}dt. Então du=dt e v=\tfrac{1}{2}e^{2t}. Assim
\int t\,e^{2t}\,dt=\frac{t}{2}e^{2t}-\int\frac{1}{2}e^{2t}\,dt=\frac{t}{2}e^{2t}-\frac{1}{4}e^{2t}+C.
Multiplicando por 5:
\int 5t\,e^{2t}\,dt=\frac{5t}{2}e^{2t}-\frac{5}{4}e^{2t}+C.
Portanto
e^{t}y(t)=\frac{5t}{2}e^{2t}-\frac{5}{4}e^{2t}+C.
Dividindo por e^{t}:
y(t)=\frac{5}{2}t\,e^{t}-\frac{5}{4}e^{t}+C\,e^{-t}.
Essa é a solução geral da equação (I). Comentário amigo: a parte particular veio da integral por partes; a solução geral soma essa parte particular com a solução da homogênea C e^{-t}.

Passo 3

Equação (II): \;y'(t)+2y(t)=e^{-t}.\n
Método aplicado: novamente fator integrante (é a ferramenta natural para equações lineares de primeira ordem). Aqui p(t)=2, então
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Multiplicando:
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t)=e^{2t}e^{-t}=e^{t}.
O lado esquerdo é \big(e^{2t}y(t)\big)'. Assim
\big(e^{2t}y(t)\big)'=e^{t}.
Integramos:
e^{2t}y(t)=\int e^{t}\,dt= e^{t}+C.
Dividindo por e^{2t}:
y(t)=e^{-t}+C\,e^{-2t}.
Dica prática para prova: decorar o padrão \mu=e^{\int p} e checar sempre se o lado esquerdo vira (\mu y)'.

Passo 4

Equação (III): \;y'(t)-\dfrac{1}{t}y(t)=t^{2},\;t>0.\n
Método aplicado: fator integrante novamente. Aqui p(t)=-\dfrac{1}{t}. Calculamos
\mu(t)=e^{\int -\frac{1}{t}\,dt}=e^{-\ln t}=t^{-1},
já que t>0 (isso garante que \ln t está bem definido). Multiplicando a equação por \mu(t)=t^{-1}:
t^{-1}y'(t)-t^{-2}y(t)=t.
O lado esquerdo é \big(t^{-1}y(t)\big)'. Portanto
\big(t^{-1}y(t)\big)'=t.
Integramos:
t^{-1}y(t)=\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C.
Multiplicando por t:
y(t)=\frac{t^{3}}{2}+C\,t.
Observação: aqui a solução homogênea é C\,t porque a homogênea y'-\frac{1}{t}y=0 tem solução y_h=K t.

Passo 5

Equação (IV): \;y'(t)+y(t)\tan t=\sin t,\quad \cos t\neq 0.\n
Método aplicado: fator integrante com atenção às funções trigonométricas. Aqui p(t)=\tan t. Calculamos
\mu(t)=e^{\int \tan t\,dt}=e^{-\ln|\cos t|}=\frac{1}{\cos t}=\operatorname{sec} t,
onde usei a primitiva \int \tan t\,dt=-\ln|\cos t|. Multiplicando a equação por \mu(t)=\operatorname{sec} t:
\operatorname{sec} t\,y'(t)+y(t)\operatorname{sec} t\tan t=\sin t\operatorname{sec} t.
O lado esquerdo é \big(\operatorname{sec} t\,y(t)\big)'. O lado direito simplifica: \sin t\operatorname{sec} t=\tan t. Então
\big(\operatorname{sec} t\,y(t)\big)'=\tan t.
Integramos:
\operatorname{sec} t\,y(t)=\int \tan t\,dt = -\ln|\cos t| + C.
Multiplicando por \cos t (lembrando que \cos t\neq 0 no domínio):
y(t)=-\cos t\,\ln|\cos t| + C\cos t.
Essa é a solução geral no intervalo onde \cos t não zera. Nota prática: sempre verificar domínio quando aparecem \ln|\cos t|.

Resposta

y(t)=\dfrac{5}{2}t\,e^{t}-\dfrac{5}{4}e^{t}+C\,e^{-t}\n
y(t)=e^{-t}+C\,e^{-2t}\n
y(t)=\dfrac{t^{3}}{2}+C\,t\n
y(t)=-\cos t\,\ln|\cos t|+C\cos t

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