( 10 pts ) Uma partícula se move ao longo de um círculo de raio
. A distância total percorrida segue a lei
Em
, calcule:
a) (
) o módulo da velocidade instantânea;
b) (
) o módulo da aceleração tangencial;
c) (
) o módulo da aceleração radial;
d) (
) o módulo da aceleração total.
a) (
b) (
c) (
d) (
Passo 1
O enunciado dá uma partícula que se move ao longo de um círculo de raio
. A distância total percorrida (arc‑comprimento) é
O que nos é pedido, em
, é:
a) o módulo da velocidade instantânea;
b) o módulo da aceleração tangencial;
c) o módulo da aceleração radial (centrípeta);
d) o módulo da aceleração total.
a) o módulo da velocidade instantânea;
b) o módulo da aceleração tangencial;
c) o módulo da aceleração radial (centrípeta);
d) o módulo da aceleração total.
Passo 2
Primeiro passo prático: uniformizar unidades. Os coeficientes de
estão em centímetros; como
está em metros, converto
para metros. Lembrete:
.
Logo em metros:
Passo 3
Agora a física: a velocidade escalar (módulo da velocidade instantânea ao longo do caminho) é a derivada do comprimento de arco em relação ao tempo:
Vou derivar termo a termo. Regra:
.
Aplicando a esto:
Aplicando a esto:
Passo 4
Avalio
em
:
Portanto o módulo da velocidade instantânea é
.
Passo 5
A aceleração tangencial
é a derivada da velocidade escalar:
.
Derivo :
Derivo
Avalio em
:
Passo 6
A aceleração radial (centrípeta) para movimento ao longo de uma circunferência é dada por
onde
é a velocidade escalar tangencial e
o raio. Já temos
e
. Então:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 7
A aceleração total é a soma vetorial das componentes tangencial e radial, que são perpendiculares (tangencial ao longo da trajetória, radial apontando ao centro). Assim o módulo é
Substituo os valores em
:
Arredondando:
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)