( 10 pts ) Uma partícula se move ao longo de um círculo de raio R=0,50 \mathrm{~m}. A distância total percorrida segue a lei
s(t)=\left(2,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{3}\right) t^{3}+\left(3,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2}
Em t=2 \mathrm{~s}, calcule:
a) ( 2,5 \mathrm{pts} ) o módulo da velocidade instantânea;
b) ( 2,5 \mathrm{pts} ) o módulo da aceleração tangencial;
c) ( 2,5 \mathrm{pts} ) o módulo da aceleração radial;
d) ( 2,5 \mathrm{pts} ) o módulo da aceleração total.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que se move ao longo de um círculo de raio R=0,50\\ \mathrm{m}. A distância total percorrida (arc‑comprimento) é
s(t)=\left(2,0\\ \mathrm{cm/s^3}\right)t^{3}+\left(3,0\\ \mathrm{cm/s^2}\right)t^{2}.
O que nos é pedido, em t=2\\ \mathrm{s}, é:
a) o módulo da velocidade instantânea;
b) o módulo da aceleração tangencial;
c) o módulo da aceleração radial (centrípeta);
d) o módulo da aceleração total.

Passo 2

Primeiro passo prático: uniformizar unidades. Os coeficientes de s(t) estão em centímetros; como R está em metros, converto s(t) para metros. Lembrete: 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
2,0\\ \mathrm{cm/s^3}=2{,}0\times 0{,}01=0{,}02\\ \mathrm{m/s^3}, \qquad 3{,}0\\ \mathrm{cm/s^2}=3{,}0\times 0{,}01=0{,}03\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo em metros:
s(t)=0{,}02\,t^{3}+0{,}03\,t^{2}\quad\text{(metros).}

Passo 3

Agora a física: a velocidade escalar (módulo da velocidade instantânea ao longo do caminho) é a derivada do comprimento de arco em relação ao tempo:
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Vou derivar termo a termo. Regra: \dfrac{d}{dt}(a t^{n}) = a n t^{n-1}.
Aplicando a esto:
v(t)=\frac{d}{dt}\big(0{,}02\,t^{3}\big)+\frac{d}{dt}\big(0{,}03\,t^{2}\big) =0{,}02\cdot 3\,t^{2}+0{,}03\cdot 2\,t =0{,}06\,t^{2}+0{,}06\,t.

Passo 4

Avalio v(t) em t=2\\ \mathrm{s}:
v(2)=0{,}06\cdot 2^{2}+0{,}06\cdot 2 =0{,}06\cdot 4+0{,}12 =0{,}24+0{,}12=0{,}36\\ \mathrm{m/s}.
Portanto o módulo da velocidade instantânea é 0{,}36\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A aceleração tangencial a_{t} é a derivada da velocidade escalar: a_{t}(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}.
Derivo v(t)=0{,}06\,t^{2}+0{,}06\,t:
a_{t}(t)=0{,}06\cdot 2\,t+0{,}06\cdot 1=0{,}12\,t+0{,}06.
Avalio em t=2\\ \mathrm{s}:
a_{t}(2)=0{,}12\cdot 2+0{,}06=0{,}24+0{,}06=0{,}30\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

A aceleração radial (centrípeta) para movimento ao longo de uma circunferência é dada por
a_{r}=\frac{v^{2}}{R},
onde v é a velocidade escalar tangencial e R o raio. Já temos v(2)=0{,}36\\ \mathrm{m/s} e R=0{,}50\\ \mathrm{m}. Então:
a_{r}=\frac{(0{,}36)^{2}}{0{,}50}=\frac{0{,}1296}{0{,}50}=0{,}2592\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando razoavelmente: a_{r}\approx 0{,}259\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

A aceleração total é a soma vetorial das componentes tangencial e radial, que são perpendiculares (tangencial ao longo da trajetória, radial apontando ao centro). Assim o módulo é
a_{\text{tot}}=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{r}^{2}}.
Substituo os valores em t=2:
a_{\text{tot}}=\sqrt{(0{,}30)^{2}+(0{,}2592)^{2}} =\sqrt{0{,}09+0{,}067193...} =\sqrt{0{,}157193...}=0{,}3965\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando: a_{\text{tot}}\approx 0{,}397\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) 0{,}36\\ \mathrm{m/s}
b) 0{,}30\\ \mathrm{m/s^{2}}
c) 0{,}259\\ \mathrm{m/s^{2}}
d) 0{,}397\\ \mathrm{m/s^{2}}

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