Um sistema consiste em um jogador de basquete de 110 Kg , um aro da cesta e a Terra. Suponha zero a energia potencial deste sistema quando o jogador está de pé no chão e o aro está na horizontal. Encontre a energia potencial total deste sistema quando o jogador está pendurado na frente do aro. Suponha, também, que o centro de massa do jogador está a 0,80 \mathrm{~cm} do chão quando ele está de pé no chão, e 1,30 m acima do chão quando ele está pendurado. A constante de força do aro é 7,2 k N / m e a parte da frente do aro é pendurada para baixo de uma distância de 15 c m.
U=6,2 \times 10^{2} J

Passo 1

O enunciado pede a energia potencial total do sistema (jogador + aro + Terra) quando o jogador está pendurado na frente do aro. As informações relevantes fornecidas são:
m = 110\\ \mathrm{kg} (massa do jogador),
altura do centro de massa quando o jogador está de pé: y_{\mathrm{cm}\,i}=0{,}80\\ \mathrm{m},
altura do centro de massa quando pendurado: y_{\mathrm{cm}\,f}=1{,}30\\ \mathrm{m},
constante elástica do aro: k = 7{,}2\\ \mathrm{kN/m} = 7200\\ \mathrm{N/m},
afastamento (flexão) da frente do aro para baixo: x=15\\ \mathrm{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
A referência de energia potencial (zero) é quando o jogador está de pé no chão e o aro está na horizontal. O que se pede é a energia potencial total do sistema nessa nova posição (jogador pendurado e aro deflexionado).

Passo 2

Vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional do jogador. Conceito e fórmula: a energia potencial gravitacional de um corpo de massa m na altura y relativa a uma referência é U_g = m g y, onde g é a aceleração da gravidade ( g \approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}). Aqui interessa a diferença entre as posições final e inicial do centro de massa do jogador,
\Delta U_g = m g (y_{\mathrm{cm}\,f} - y_{\mathrm{cm}\,i}).
Substituindo os valores: a diferença de alturas é
y_{\mathrm{cm}\,f}-y_{\mathrm{cm}\,i}=1{,}30-0{,}80=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Calculamos g (y_{\mathrm{cm}\,f}-y_{\mathrm{cm}\,i}):
9{,}8\cdot 0{,}50 = 4{,}9\\ (\mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{m}) = 4{,}9\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Agora multiplicamos por m:
\Delta U_g = 110\cdot 4{,}9 = 539\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia potencial gravitacional do jogador aumentou 539\\ \mathrm{J} ao passar da posição em pé para pendurado.

Passo 3

Agora calculamos a energia elástica armazenada no aro devido à flexão. Conceito e fórmula: para uma mola (ou comportamento elástico linear) a energia potencial elástica é
U_s = \tfrac{1}{2} k x^2,
onde k é a constante elástica e x a deformação. Aqui k=7200\\ \mathrm{N/m} e x=0{,}15\\ \mathrm{m}. Primeiro calculamos x^2:
x^2 = (0{,}15)^2 = 0{,}0225\\ \mathrm{m^2}.
Multiplicando por k:
k x^2 = 7200\cdot 0{,}0225 = 162\\ \mathrm{N\cdot m} = 162\\ \mathrm{J}.
Tomando metade:
U_s = \tfrac{1}{2}\cdot 162 = 81\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia elástica armazenada no aro é 81\\ \mathrm{J}.

Passo 4

A energia potencial total do sistema, com a escolha de referência dada, é a soma da variação da energia gravitacional do jogador e da energia elástica do aro (a Terra pode ser tratada como referência que recebe a energia gravitacional do jogador, mas não tem energia elástica aqui). Assim:
U_{\text{total}} = \Delta U_g + U_s = 539 + 81 = 620\\ \mathrm{J}.
Isso coincide com o valor apresentado no enunciado ( 6{,}2\times 10^{2}\\ \mathrm{J}). Note que escolhemos sinais positivos porque ambas as quantidades aumentaram em relação à referência: o jogador subiu e o aro armazenou energia elástica.

Resposta

6{,}2\times10^{2}\\ \mathrm{J}

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