Um sistema consiste em um jogador de basquete de 110 Kg , um aro da cesta e a Terra. Suponha zero a energia potencial deste sistema quando o jogador está de pé no chão e o aro está na horizontal. Encontre a energia potencial total deste sistema quando o jogador está pendurado na frente do aro. Suponha, também, que o centro de massa do jogador está a
do chão quando ele está de pé no chão, e
acima do chão quando ele está pendurado. A constante de força do aro é
e a parte da frente do aro é pendurada para baixo de uma distância de
.
Passo 1
O enunciado pede a energia potencial total do sistema (jogador + aro + Terra) quando o jogador está pendurado na frente do aro. As informações relevantes fornecidas são:
(massa do jogador),
altura do centro de massa quando o jogador está de pé: ,
altura do centro de massa quando pendurado: ,
constante elástica do aro: ,
afastamento (flexão) da frente do aro para baixo: .
A referência de energia potencial (zero) é quando o jogador está de pé no chão e o aro está na horizontal. O que se pede é a energia potencial total do sistema nessa nova posição (jogador pendurado e aro deflexionado).
altura do centro de massa quando o jogador está de pé:
altura do centro de massa quando pendurado:
constante elástica do aro:
afastamento (flexão) da frente do aro para baixo:
A referência de energia potencial (zero) é quando o jogador está de pé no chão e o aro está na horizontal. O que se pede é a energia potencial total do sistema nessa nova posição (jogador pendurado e aro deflexionado).
Passo 2
Vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional do jogador. Conceito e fórmula: a energia potencial gravitacional de um corpo de massa
na altura
relativa a uma referência é
, onde
é a aceleração da gravidade (
). Aqui interessa a diferença entre as posições final e inicial do centro de massa do jogador,
Substituindo os valores: a diferença de alturas é
Calculamos
:
Agora multiplicamos por
:
Portanto a energia potencial gravitacional do jogador aumentou
ao passar da posição em pé para pendurado.
Passo 3
Agora calculamos a energia elástica armazenada no aro devido à flexão. Conceito e fórmula: para uma mola (ou comportamento elástico linear) a energia potencial elástica é
onde
é a constante elástica e
a deformação. Aqui
e
. Primeiro calculamos
:
Multiplicando por
:
Tomando metade:
Portanto a energia elástica armazenada no aro é
.
Passo 4
A energia potencial total do sistema, com a escolha de referência dada, é a soma da variação da energia gravitacional do jogador e da energia elástica do aro (a Terra pode ser tratada como referência que recebe a energia gravitacional do jogador, mas não tem energia elástica aqui). Assim:
Isso coincide com o valor apresentado no enunciado (
). Note que escolhemos sinais positivos porque ambas as quantidades aumentaram em relação à referência: o jogador subiu e o aro armazenou energia elástica.