( 10 pts ) Forneça a solução do problema de valor inicial abaixo e calcule y\left(\frac{3 \pi}{4}\right).
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 \delta\left(t-\frac{\pi}{2}\right), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''-2y'+5y=2\,\delta\!\Bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=3,
e em seguida o valor de y\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr). O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com força do tipo delta de Dirac, o que gera uma solução em duas zonas (antes e depois de t=\tfrac{\pi}{2}) unidas pelas condições de continuidade de y e pelo salto em y' fornecido pela integral da equação no entorno do impulso.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral do homogêneo
y''-2y'+5y=0.
A equação característica é
r^2-2r+5=0\quad\Longrightarrow\quad r=1\pm2i,
logo
y_h(t)=e^t\bigl(A\cos2t+B\sin2t\bigr).

Passo 3

Para 0\le t<\tfrac{\pi}{2} escrevemos
y_1(t)=e^t\bigl(A\cos2t+B\sin2t\bigr).
As condições iniciais dão
y_1(0)=A=1,
e
y_1'(t) =e^t\bigl[(A+2B)\cos2t+(B-2A)\sin2t\bigr],
então
y_1'(0)=A+2B=3\quad\Longrightarrow\quad1+2B=3\quad\Longrightarrow\quad B=1.
Assim
y_1(t)=e^t\bigl(\cos2t+\sin2t\bigr), \quad t<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Para t>\tfrac{\pi}{2} tomamos
y_2(t)=e^t\bigl(C\cos2t+D\sin2t\bigr).
Na passagem por t_0=\tfrac{\pi}{2} valem duas condições:
(i) continuidade de y:
y_2\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=y_1\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-e^{\pi/2},
pois \cos\pi=-1, \sin\pi=0. Logo
e^{\pi/2}\bigl(C\cos\pi+D\sin\pi\bigr) =e^{\pi/2}(-C) =-e^{\pi/2} \quad\Longrightarrow\quad C=1.
(ii) salto em y' gerado por 2\delta(t-\tfrac{\pi}{2}):
y_2'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) -y_1'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2.
Já tínhamos
y_1'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-3e^{\pi/2}.
Por outro lado
y_2'(t) =e^t\bigl[(C+2D)\cos2t+(D-2C)\sin2t\bigr],
de modo que em t=\tfrac{\pi}{2} (onde \cos\pi=-1, \sin\pi=0)
y_2'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-e^{\pi/2}(C+2D).
Impondo o salto,
-\,e^{\pi/2}(C+2D)-\bigl(-3e^{\pi/2}\bigr)=2 \quad\Longrightarrow\quad -e^{\pi/2}(1+2D)+3e^{\pi/2}=2
\Longrightarrow\quad e^{\pi/2}(1+2D)=3e^{\pi/2}-2 \quad\Longrightarrow\quad1+2D=3-2e^{-\pi/2}
\Longrightarrow\quad D=1-e^{-\pi/2}.

Passo 5

Portanto a solução completa é
y(t)= \begin{cases} e^t\bigl(\cos 2t + \sin 2t\bigr), &0 \le t < \tfrac{\pi}{2},\\[6pt] e^t\bigl(\cos 2t + (1 - e^{-\pi/2}) \sin 2t\bigr), &t > \tfrac{\pi}{2}. \end{cases}]

Passo 6

Para t=\tfrac{3\pi}{4}>\tfrac{\pi}{2} usamos a segunda parte:
y\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) =e^{3\pi/4}\Bigl[\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) +(1-e^{-\pi/2})\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\Bigr].
Como \cos\tfrac{3\pi}{2}=0, \sin\tfrac{3\pi}{2}=-1, segue
y\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) =e^{3\pi/4}\bigl[0-(1-e^{-\pi/2})\bigr] =-e^{3\pi/4}+e^{3\pi/4-\pi/2} =e^{\pi/4}-e^{3\pi/4}.

Resposta

A solução do IVP é
y(t)= \begin{cases} e^t\bigl(\cos 2t + \sin 2t\bigr), &0 \le t < \tfrac{\pi}{2},\\[6pt] e^t\bigl(\cos 2t + (1 - e^{-\pi/2}) \sin 2t\bigr), &t > \tfrac{\pi}{2} \end{cases}
e
y\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = e^{\pi/4} - e^{3\pi/4}.]

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