( 10 pts ) Forneça a solução do problema de valor inicial abaixo e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
e em seguida o valor de
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com força do tipo delta de Dirac, o que gera uma solução em duas zonas (antes e depois de
) unidas pelas condições de continuidade de
e pelo salto em
fornecido pela integral da equação no entorno do impulso.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral do homogêneo
A equação característica é
logo
Passo 3
Para
escrevemos
As condições iniciais dão
e
então
Assim
Passo 4
Para
tomamos
Na passagem por
valem duas condições:
(i) continuidade de
:
pois
,
. Logo
(ii) salto em
gerado por
:
Já tínhamos
Por outro lado
de modo que em
(onde
,
)
Impondo o salto,
Passo 5
Portanto a solução completa é
Passo 6
Para
usamos a segunda parte:
Como
,
, segue
Resposta
A solução do IVP é
e