Considere o sistema de equações de primeira ordem \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=x+4 y \\\ y^{\prime}=x-2 y\end{array}\right.
(a) (7 pts) Obtenha as soluções gerais para x(t) e y(t).
(b) (3 pts) Para as condições iniciais x(0)=2 e y(0)=A, determine todos os valores de A que resultam em \lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=0 e \lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações lineares de primeira ordem
\begin{cases} x' = x+4y \\[4pt] y' = x-2y \end{cases}.
O conteúdo é resolução de sistema usando autovalores e autovetores. Para resolver, vamos associar o sistema à matriz de coeficientes, achar seus autovalores e autovetores, montar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial \mathbf{x}' = A\mathbf{x}, com
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Os autovalores \lambda satisfazem \det(A - \lambda I) = 0. Calculando:
\det \begin{pmatrix}1 - \lambda & 4 \\[4pt] 1 & -2 - \lambda\end{pmatrix} = (1 - \lambda)(-2 - \lambda) - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6 = 0.
Logo,
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -3.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[4pt] 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = 0
que dá x = 4y. Escolhendo y = 1, obtemos v_1 = (4,1).
Para \lambda_2 = -3, resolvemos
(A + 3I)v = 0 \implies \begin{pmatrix} 4 & 4 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = 0
que leva a y = -x. Escolhendo x = 1, temos v_2 = (1,-1).
A solução geral é
\begin{pmatrix} x(t) \\[4pt] y(t) \end{pmatrix} = C_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 4 \\[4pt] 1 \end{pmatrix} + C_2 e^{-3t} \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Impondo x(0)=2 e y(0)=A, obtemos o sistema
4C_1 + C_2 = 2,\quad C_1 - C_2 = A.
Da segunda equação C_1 = A + C_2. Substituindo na primeira,
4(A+C_2)+C_2=2\implies5C_2=2-4A\implies C_2=\frac{2-4A}{5},\quad C_1=\frac{A+2}{5}.
Então
x(t)=\frac{4(A+2)}{5}e^{2t}+\frac{2-4A}{5}e^{-3t},\quad y(t)=\frac{A+2}{5}e^{2t}-\frac{2-4A}{5}e^{-3t}.

Passo 5

Para \lim_{t\to\infty}x(t)=0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0, o termo em e^{2t} deve desaparecer, ou seja, C_1=0. Logo
\frac{A+2}{5}=0\implies A=-2.

Resposta

As soluções gerais são
x(t)=\frac{4(A+2)}{5}e^{2t}+\frac{2-4A}{5}e^{-3t},\quad y(t)=\frac{A+2}{5}e^{2t}-\frac{2-4A}{5}e^{-3t}.
Para x(0)=2, y(0)=A, o único valor de A que faz
\lim_{t\to\infty}x(t)=0 e \lim_{t\to\infty}y(t)=0 é
A=-2.

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