Considere o sistema de equações de primeira ordem
(a) (7 pts) Obtenha as soluções gerais para
e
.
(b) (3 pts) Para as condições iniciais
e
, determine todos os valores de
que resultam em
e
.
(a) (7 pts) Obtenha as soluções gerais para
(b) (3 pts) Para as condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações lineares de primeira ordem
O conteúdo é resolução de sistema usando autovalores e autovetores. Para resolver, vamos associar o sistema à matriz de coeficientes, achar seus autovalores e autovetores, montar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.]
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetorial
, com
Os autovalores
satisfazem
. Calculando:
Logo,
Passo 3
Para
, resolvemos
que dá
. Escolhendo
, obtemos
.
Para
, resolvemos
que leva a
. Escolhendo
, temos
.
A solução geral é
Passo 4
Impondo
e
, obtemos o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira,
Então
Passo 5
Para
e
, o termo em
deve desaparecer, ou seja,
. Logo
Resposta
As soluções gerais são
Para
,
, o único valor de
que faz
e
é
.