Utilizando o Método da Variação dos parâmetros, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
y^{\prime \prime}+y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = x
usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois construir uma solução particular via variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = \pm i. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
Chamamos de y_1(x) = \cos x e y_2(x) = \sin x as duas soluções independentes.

Passo 3

No método da variação dos parâmetros buscamos uma solução particular da forma
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1\) e \(u_2\) satisfazem o sistema \[\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x) + u_2'(x)\,y_2(x) = 0,\\\ u_1'(x)\,y_1'(x) + u_2'(x)\,y_2'(x) = f(x), \end{cases}
com (f(x)=x].

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y_1 e y_2:
W(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.

Passo 5

As fórmulas do método dão
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,f(x)}{W(x)} = -\,x\sin x, \qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W(x)} = x\cos x.

Passo 6

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(x) = -\int x\sin x\,dx = -\bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) = x\cos x - \sin x,
u_2(x) = \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 7

Montamos a solução particular
y_p(x) = u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x = (x\cos x - \sin x)\cos x + (x\sin x + \cos x)\sin x = x(\cos^2 x + \sin^2 x) = x.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + x.

Resposta

y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + x.

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