Utilizando o Método da Variação dos parâmetros, determine a solução geral de cada EDO abaixo: y^{\prime \prime}+y=x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = x
usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois construir uma solução particular via variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = \pm i. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
Chamamos de y_1(x) = \cos x e y_2(x) = \sin x as duas soluções independentes.
Passo 3
No método da variação dos parâmetros buscamos uma solução particular da forma
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1\) e \(u_2\) satisfazem o sistema
\[\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x) + u_2'(x)\,y_2(x) = 0,\\\ u_1'(x)\,y_1'(x) + u_2'(x)\,y_2'(x) = f(x), \end{cases}
com (f(x)=x].
Passo 4
Calculamos o Wronskiano de y_1 e y_2:
W(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.