Utilizando o Método da Variação dos parâmetros, determine a solução geral de cada EDO abaixo:
y^{\prime \prime}-3 y^{\\'}+2 y=t e^{3 t}+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' - 3y' + 2y = t\,e^{3t} + 1
usando o método da variação de parâmetros. Isso envolve dois grandes blocos: (1) resolver a equação homogênea associada e obter a base de soluções y_1,y_2; (2) usar variação de parâmetros para encontrar uma solução particular y_p.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0
a equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-1)(r-2)=0,
logo r=1 ou r=2. Assim uma base de soluções é
y_1(t) = e^t, \qquad y_2(t) = e^{2t}.

Passo 3

Para variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano
W(t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^t & e^{2t}\\\ e^t & 2e^{2t} \end{vmatrix} = e^t\cdot2e^{2t} - e^{2t}\cdot e^t = e^{3t}.
Como o termo não homogêneo é g(t)=t\,e^{3t}+1, as fórmulas são
u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)}, \qquad u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)}.

Passo 4

Calculando u_1'(t) e integrando:
u_1'(t) =-\frac{(t\,e^{3t}+1)\,e^{2t}}{e^{3t}} = -\bigl(t\,e^{2t} + e^{-t}\bigr).
Logo
u_1(t) =\int \bigl[-t\,e^{2t} - e^{-t}\bigr]\,dt =-\int t\,e^{2t}dt \;-\;\int e^{-t}dt.
Por partes em \int t\,e^{2t}dt:
\int t\,e^{2t}dt =\frac{t\,e^{2t}}{2} - \frac{e^{2t}}{4},
logo
u_1(t) =-\Bigl(\frac{t\,e^{2t}}{2}-\frac{e^{2t}}{4}\Bigr) +\;e^{-t} =-\frac{t\,e^{2t}}{2}+\frac{e^{2t}}{4}+e^{-t}.

Passo 5

Calculando u_2'(t) e integrando:
u_2'(t) =\frac{(t\,e^{3t}+1)\,e^t}{e^{3t}} = t\,e^t + e^{-2t}.
Então
u_2(t) =\int \bigl(t\,e^t + e^{-2t}\bigr)\,dt =\int t\,e^t dt \;+\;\int e^{-2t}dt.
Por partes em \int t\,e^t dt:
\int t\,e^t dt =t\,e^t - e^t =e^t\,(t-1), \qquad \int e^{-2t}dt=-\frac{1}{2}e^{-2t},
logo
u_2(t) =e^t\,(t-1)\;-\;\frac{1}{2}e^{-2t}.

Passo 6

A solução particular é
y_p(t)=u_1(t)\,y_1(t)+u_2(t)\,y_2(t).
Substituindo:
u_1(t)\,e^t =\Bigl[-\tfrac{t\,e^{2t}}{2}+\tfrac{e^{2t}}{4}+e^{-t}\Bigr]e^t =-\tfrac{t\,e^{3t}}{2}+\tfrac{e^{3t}}{4}+1,
u_2(t)\,e^{2t} =\Bigl[e^t(t-1)-\tfrac12e^{-2t}\Bigr]e^{2t} =e^{3t}(t-1)-\tfrac12.
Somando:
y_p(t) =\underbrace{-\tfrac{t\,e^{3t}}{2}+\tfrac{e^{3t}}{4}}_{u_1y_1} +\underbrace{t\,e^{3t}-e^{3t}}_{u_2y_2} \;+\;(1-\tfrac12) =\tfrac12\,t\,e^{3t}-\tfrac34\,e^{3t}+\tfrac12.

Passo 7

Então a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) =C_1\,e^t + C_2\,e^{2t} +\frac12\,t\,e^{3t} -\frac34\,e^{3t} +\frac12.

Resposta

\boxed{y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}+\frac{1}{2}\,t\,e^{3t}-\frac{3}{4}\,e^{3t}+\frac{1}{2}}.

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