Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n^{2}}
e pede para classificar sua convergência em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste de convergência absoluta, comparando com a p-série \sum1/n^{2}.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right|\le\frac{1}{n^{2}}.
Como sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é convergente (p-série com p=2>1), o teste da comparação garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\cos n}{n^{2}}\right|
também converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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