( 10 pts ) Um garoto brinca com seu carrinho de controle remoto no pátio da sua casa. Considerando um sistema de coordenadas
no chão do pátio, as coordenadas do carrinho são dadas por
Utilizando os vetores unitários do sistema de coordenadas
, ache os vetores:
a) ( 4 pts ) posição, velocidade e aceleração como função do tempo;
b) ( 3 pts) velocidade média entre
e
.
c) ( 4 pts ) Para
encontre o módulo, direção e sentido da velocidade. Faça um esboço desse vetor.
a) ( 4 pts ) posição, velocidade e aceleração como função do tempo;
b) ( 3 pts) velocidade média entre
c) ( 4 pts ) Para
Passo 1
O enunciado dá as funções das coordenadas
e
do carrinho no plano do pátio e pede três coisas:
- (a) Escrever os vetores posição, velocidade e aceleração como funções do tempo usando os vetores unitários do sistema de coordenadas
. - (b) Calcular a velocidade média entre
e . - (c) Para
, encontrar o módulo, a direção e o sentido da velocidade e fazer um esboço (descrição do esboço).
As informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado) são:
Nada mais será assumido além disso. A resolução começa agora.]
Passo 2
(a) Vetor posição
.
Primeiro, lembrar o que é vetor posição: é o vetor que vai da origem até a posição do objeto, e se expressa em componentes nas direções
e
multiplicadas pelos vetores unitários dessas direções. Os vetores unitários usuais no plano são
(direção
) e
(direção
). Então, para formar o vetor posição basta juntar
com
e
com
.
Portanto:
Substituindo as funções dadas:
Passo 3
(a) Vetor velocidade
: definição e derivação.
Definição rápida e útil: a velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo,
Derivar componente a componente:
e análogo para
.
Regras de derivação usadas (lembrando sem jargões):
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de
(com constante) é . - A derivada de
é .
Aplicando a
:
Aplicando a
:
Logo o vetor velocidade é
Passo 4
(a) Vetor aceleração
: definição e derivação.
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
Derivando as componentes de
:
Para
:
(constante).
Para :
(constante).
Para
Assim:
Observação didática: aqui as componentes da aceleração são constantes; isso significa que o movimento tem aceleração constante nas direções
e
(um movimento composto por dois movimentos unidimensionais com acelerações constantes).
Passo 5
(b) Velocidade média entre
e
: definição e cálculo.
Definição: a velocidade média vetorial em um intervalo é a variação do vetor posição dividido pelo intervalo de tempo:
Vamos calcular
e
usando as expressões do Passo 2. Fazendo as contas passo a passo (sem pular):
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Agora
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Agora a variação de posição:
Intervalo de tempo
. Assim a velocidade média é
Passo 6
(c) Velocidade instantânea em
: cálculo direto.
Usamos a fórmula de
obtida no Passo 3:
Substituindo
:
Logo
Passo 7
(c) Módulo, direção e sentido da velocidade em
; explicação de como obter.
Módulo (rapaz, Pythagoras é o herói): o módulo da velocidade é
Calcule:
Portanto
Direção (ângulo): o ângulo
que o vetor faz com o eixo
(medido no sentido anti-horário) é dado por
onde
cuida do sinal de
e
para colocar o ângulo no quadrante correto. Se usarmos a fórmula básica
precisamos ajustar pelo quadrante. Aqui:
Também é comum dar o ângulo em valor negativo (medido no sentido horário a partir do eixo
):
(porque
).
Sentido: como ambas as componentes são negativas, o sentido é para “sul-oeste” (para a esquerda e para baixo): aponta para o quadrante sul-oeste.
Passo 8
(c) Esboço (descrição do desenho):
Para esboçar, desenhe os eixos
(horizontal, positivo para a direita) e
(vertical, positivo para cima). No ponto correspondente à posição
desenhe uma seta que parte desse ponto e desloca aproximadamente
unidades na direção
(para a esquerda, pequena) e
unidades na direção
(para baixo, um pouco maior). A seta fica inclinada para baixo e para a esquerda, com comprimento proporcional a
(magnitude calculada) e formando um ângulo de cerca de
medido a partir do eixo
.
Resposta
(a)
(m)
(m/s)
(m/s
)
(b)
(m/s)
(c)
(m/s); módulo
; direção
(a partir do eixo
, anti-horário)
(clockwise); sentido: para o sul-oeste (componentes
e
negativas).