( 10 pts ) Um garoto brinca com seu carrinho de controle remoto no pátio da sua casa. Considerando um sistema de coordenadas x y no chão do pátio, as coordenadas do carrinho são dadas por
\begin{aligned} & x(t)=28 \mathrm{~m}+(7,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t-\left(0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2} \\\ & y(t)=30 \mathrm{~m}-(9,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) t+\left(0,22 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t^{2} . \end{aligned}
Utilizando os vetores unitários do sistema de coordenadas x y, ache os vetores:
a) ( 4 pts ) posição, velocidade e aceleração como função do tempo;
b) ( 3 pts) velocidade média entre t_{1}=5 \mathrm{~s} e t_{2}=15 \mathrm{~s}.
c) ( 4 pts ) Para t=15 \mathrm{~s} encontre o módulo, direção e sentido da velocidade. Faça um esboço desse vetor.

Passo 1

O enunciado dá as funções das coordenadas x(t) e y(t) do carrinho no plano do pátio e pede três coisas:
  • (a) Escrever os vetores posição, velocidade e aceleração como funções do tempo usando os vetores unitários do sistema de coordenadas x y.
  • (b) Calcular a velocidade média entre t_1=5\\ \mathrm{s} e t_2=15\\ \mathrm{s}.
  • (c) Para t=15\\ \mathrm{s}, encontrar o módulo, a direção e o sentido da velocidade e fazer um esboço (descrição do esboço).
As informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado) são:
\begin{aligned} x(t)&=28\\ \mathrm{m} + (7{,}2\\ \mathrm{m/s})\,t - (0{,}3\\ \mathrm{m/s^2})\,t^{2},\\[4pt] y(t)&=30\\ \mathrm{m} - (9{,}1\\ \mathrm{m/s})\,t + (0{,}22\\ \mathrm{m/s^2})\,t^{2}. \end{aligned}
Nada mais será assumido além disso. A resolução começa agora.]

Passo 2

(a) Vetor posição \mathbf{r}(t).
Primeiro, lembrar o que é vetor posição: é o vetor que vai da origem até a posição do objeto, e se expressa em componentes nas direções x e y multiplicadas pelos vetores unitários dessas direções. Os vetores unitários usuais no plano são \hat{\mathbf{i}} (direção +x) e \hat{\mathbf{j}} (direção +y). Então, para formar o vetor posição basta juntar x(t) com \hat{\mathbf{i}} e y(t) com \hat{\mathbf{j}}.
Portanto:
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}}.
Substituindo as funções dadas:
\mathbf{r}(t)=\bigl(28+7{,}2\,t-0{,}3\,t^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(30-9{,}1\,t+0{,}22\,t^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m}).

Passo 3

(a) Vetor velocidade \mathbf{v}(t): definição e derivação.
Definição rápida e útil: a velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo,
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Derivar componente a componente: \frac{d}{dt}[x(t)\hat{\mathbf{i}}]=x'(t)\hat{\mathbf{i}} e análogo para y.
Regras de derivação usadas (lembrando sem jargões):
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de a t (com a constante) é a.
  • A derivada de b t^{2} é 2b t.
Aplicando a x(t)=28+7{,}2t-0{,}3t^{2}:
x'(t)=7{,}2-2\cdot0{,}3\,t=7{,}2-0{,}6\,t\quad(\mathrm{m/s}).
Aplicando a y(t)=30-9{,}1t+0{,}22t^{2}:
y'(t)=-9{,}1+2\cdot0{,}22\,t=-9{,}1+0{,}44\,t\quad(\mathrm{m/s}).
Logo o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\bigl(7{,}2-0{,}6\,t\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(-9{,}1+0{,}44\,t\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

(a) Vetor aceleração \mathbf{a}(t): definição e derivação.
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Derivando as componentes de \mathbf{v}(t):
Para x: x''(t)=\frac{d}{dt}(7{,}2-0{,}6t)=-0{,}6\\ \mathrm{(m/s^{2})} (constante).
Para y: y''(t)=\frac{d}{dt}(-9{,}1+0{,}44t)=0{,}44\\ \mathrm{(m/s^{2})} (constante).
Assim:
\mathbf{a}(t) = -0{,}6\,\hat{\mathbf{i}} + 0{,}44\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).
Observação didática: aqui as componentes da aceleração são constantes; isso significa que o movimento tem aceleração constante nas direções x e y (um movimento composto por dois movimentos unidimensionais com acelerações constantes).

Passo 5

(b) Velocidade média entre t_{1}=5\\ \mathrm{s} e t_{2}=15\\ \mathrm{s}: definição e cálculo.
Definição: a velocidade média vetorial em um intervalo é a variação do vetor posição dividido pelo intervalo de tempo:
\bar{\mathbf{v}}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t_{2})-\mathbf{r}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Vamos calcular \mathbf{r}(5) e \mathbf{r}(15) usando as expressões do Passo 2. Fazendo as contas passo a passo (sem pular):
Calcule x(5):
x(5)=28+7{,}2\cdot5-0{,}3\cdot5^{2}=28+36-0{,}3\cdot25=28+36-7{,}5=56{,}5\\ \mathrm{m}.
Calcule y(5):
y(5)=30-9{,}1\cdot5+0{,}22\cdot5^{2}=30-45{,}5+0{,}22\cdot25=30-45{,}5+5{,}5=-10{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto
\mathbf{r}(5)=56{,}5\,\hat{\mathbf{i}}-10{,}0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{(m)}.
Agora t=15:
Calcule x(15):
x(15)=28+7{,}2\cdot15-0{,}3\cdot15^{2}=28+108-0{,}3\cdot225=28+108-67{,}5=68{,}5\\ \mathrm{m}.
Calcule y(15):
y(15)=30-9{,}1\cdot15+0{,}22\cdot15^{2}=30-136{,}5+0{,}22\cdot225=30-136{,}5+49{,}5=-57{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto
\mathbf{r}(15)=68{,}5\,\hat{\mathbf{i}}-57{,}0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{(m)}.
Agora a variação de posição:
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(15)-\mathbf{r}(5)=(68{,}5-56{,}5)\,\hat{\mathbf{i}}+(-57{,}0-(-10{,}0))\,\hat{\mathbf{j}}=12{,}0\,\hat{\mathbf{i}}-47{,}0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{(m)}.
Intervalo de tempo \Delta t=15-5=10\\ \mathrm{s}. Assim a velocidade média é
\bar{\mathbf{v}}=\frac{1}{10}\bigl(12{,}0\,\hat{\mathbf{i}}-47{,}0\,\hat{\mathbf{j}}\bigr)=1{,}2\,\hat{\mathbf{i}}-4{,}7\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 6

(c) Velocidade instantânea em t=15\\ \mathrm{s}: cálculo direto.
Usamos a fórmula de \mathbf{v}(t) obtida no Passo 3:
\mathbf{v}(t)=\bigl(7{,}2-0{,}6t\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(-9{,}1+0{,}44t\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}.
Substituindo t=15:
v_{x}(15)=7{,}2-0{,}6\cdot15=7{,}2-9{,}0=-1{,}8\\ \mathrm{m/s},
v_{y}(15)=-9{,}1+0{,}44\cdot15=-9{,}1+6{,}6=-2{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\mathbf{v}(15)=-1{,}8\,\hat{\mathbf{i}}-2{,}5\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 7

(c) Módulo, direção e sentido da velocidade em t=15\\ \mathrm{s}; explicação de como obter.
Módulo (rapaz, Pythagoras é o herói): o módulo da velocidade é
\|\mathbf{v}(15)\|=\sqrt{v_{x}(15)^{2}+v_{y}(15)^{2}}=\sqrt{(-1{,}8)^{2}+(-2{,}5)^{2}}.
Calcule:
(-1{,}8)^{2}=3{,}24,\qquad (-2{,}5)^{2}=6{,}25,\qquad 3{,}24+6{,}25=9{,}49.
Portanto
\|\mathbf{v}(15)\|=\sqrt{9{,}49}\approx3{,}08\\ \mathrm{m/s}.
Direção (ângulo): o ângulo \theta que o vetor faz com o eixo +x (medido no sentido anti-horário) é dado por
\theta=\operatorname{atan2}(v_{y},v_{x}),
onde \operatorname{atan2} cuida do sinal de v_{x} e v_{y} para colocar o ângulo no quadrante correto. Se usarmos a fórmula básica \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{v_{y}}{v_{x}}\bigr) precisamos ajustar pelo quadrante. Aqui:
\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{-2{,}5}{-1{,}8}=1{,}3889\ldots
\arctan(1{,}3889)\approx54{,}7^\circ, mas como v_{x}<0 e v_{y}<0 (ambos negativos), o vetor está no terceiro quadrante. Para o ângulo medido desde o eixo +x no sentido anti-horário adicionamos 180^\circ:
\theta\approx180^\circ+54{,}7^\circ=234{,}7^\circ.
Também é comum dar o ângulo em valor negativo (medido no sentido horário a partir do eixo +x): \theta\approx-125{,}3^\circ (porque 234{,}7^\circ-360^\circ=-125{,}3^\circ).
Sentido: como ambas as componentes são negativas, o sentido é para “sul-oeste” (para a esquerda e para baixo): aponta para o quadrante sul-oeste.

Passo 8

(c) Esboço (descrição do desenho):
Para esboçar, desenhe os eixos x (horizontal, positivo para a direita) e y (vertical, positivo para cima). No ponto correspondente à posição \mathbf{r}(15)=(68{,}5,\,-57{,}0) desenhe uma seta que parte desse ponto e desloca aproximadamente -1{,}8 unidades na direção x (para a esquerda, pequena) e -2{,}5 unidades na direção y (para baixo, um pouco maior). A seta fica inclinada para baixo e para a esquerda, com comprimento proporcional a 3{,}08 (magnitude calculada) e formando um ângulo de cerca de 234{,}7^\circ medido a partir do eixo +x.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(28+7{,}2\,t-0{,}3\,t^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(30-9{,}1\,t+0{,}22\,t^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{j}} (m)
\displaystyle \mathbf{v}(t)=\bigl(7{,}2-0{,}6\,t\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(-9{,}1+0{,}44\,t\bigr)\,\hat{\mathbf{j}} (m/s)
\displaystyle \mathbf{a}(t)=-0{,}6\,\hat{\mathbf{i}}+0{,}44\,\hat{\mathbf{j}} (m/s ^2)
(b) \displaystyle \bar{\mathbf{v}}=1{,}2\,\hat{\mathbf{i}}-4{,}7\,\hat{\mathbf{j}} (m/s)
(c) \displaystyle \mathbf{v}(15)=-1{,}8\,\hat{\mathbf{i}}-2{,}5\,\hat{\mathbf{j}} (m/s); módulo \displaystyle \|\mathbf{v}(15)\|\approx3{,}08\\ \mathrm{m/s}; direção \displaystyle \theta\approx234{,}7^\circ (a partir do eixo +x, anti-horário) =\!-125{,}3^\circ (clockwise); sentido: para o sul-oeste (componentes x e y negativas).

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