(10 pts) O piloto de um avião quer fazer o percurso da cidade A à cidade B em 2 horas. Ele sabe que B se situa 600 km a nordeste de A. Sopra um vento à velocidade de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} na direção norte-sul. Obtenha o módulo da velocidade do avião em relação ao vento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Distância de A a B: 600\\ \mathrm{km}.
  • A direção de B em relação a A: nordeste (isto é, exatamente a 45^\circ entre norte e leste).
  • Tempo desejado de percurso: 2\\ \mathrm{h}.
  • Vento: velocidade 100\\ \mathrm{km/h} na direção norte–sul. Vou assumir explicitamente que o vento sopra no sentido norte (ou seja, tem componente positiva na direção norte). Se o enunciado quisesse o sentido oposto, o cálculo muda de sinal na componente norte — aqui sigo esta convenção para resolver o problema sem pedir mais informações.
  • O que se pede: o módulo da velocidade do avião em relação ao vento (isto é, a velocidade do avião em relação ao ar, também chamada de velocidade no ar ou airspeed).

Passo 2

Vamos primeiro achar a velocidade do avião em relação ao solo (velocidade do trajeto desejado), que é simplesmente deslocamento dividido por tempo.
A distância é 600\\ \mathrm{km} em 2\\ \mathrm{h}, portanto a velocidade do avião em relação ao solo deve ter módulo
\frac{600}{2}=300\\ \mathrm{km/h}.
Como B fica a nordeste, essa velocidade tem direção a 45^\circ entre leste e norte. Para trabalhar com vetores, decompomos essa velocidade nas componentes leste (x) e norte (y).
A componente leste é
v_{g,x}=300\cos45^\circ,
a componente norte é
v_{g,y}=300\sin45^\circ.
Como \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, cada componente vale
v_{g,x}=v_{g,y}=\frac{300}{\sqrt{2}}=150\sqrt{2}\\ \mathrm{km/h}.

Passo 3

Agora a ideia física: velocidade em relação ao solo ( v_g) é a soma vectorial da velocidade do avião em relação ao ar ( v_a) com a velocidade do vento ( v_w):
v_g = v_a + v_w.
Queremos v_a, então reescrevemos
v_a = v_g - v_w.
Isto significa que subtraímos componente a componente o vetor vento do vetor velocidade desejada no solo.

Passo 4

Expressamos os vetores em componentes (leste = x, norte = y).
Do passo anterior temos
v_g = \bigl(v_{g,x},\,v_{g,y}\bigr) = \bigl(150\sqrt{2},\,150\sqrt{2}\bigr)\\ \mathrm{km/h}.
Pelo que assumimos, o vento tem magnitude 100\\ \mathrm{km/h} para norte, logo
v_w = (0,\,100)\\ \mathrm{km/h}.
Aplicando v_a=v_g-v_w obtemos as componentes da velocidade do avião em relação ao ar:
v_{a,x}=150\sqrt{2}-0=150\sqrt{2},
v_{a,y}=150\sqrt{2}-100.

Passo 5

Agora calculamos o módulo (a norma) do vetor v_a usando o Teorema de Pitágoras: o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|v_a\|=\sqrt{v_{a,x}^2+v_{a,y}^2}.
Substituindo as componentes:
\|v_a\|=\sqrt{\bigl(150\sqrt{2}\bigr)^2+\bigl(150\sqrt{2}-100\bigr)^2}.
Vamos desenvolver algebraicamente para entender os números:
\bigl(150\sqrt{2}\bigr)^2=150^2\cdot2=22500\cdot2=45000,
\bigl(150\sqrt{2}-100\bigr)^2=\bigl(150\sqrt{2}\bigr)^2-2\cdot150\sqrt{2}\cdot100+100^2 =45000-30000\sqrt{2}+10000.
Somando os dois termos:
v_{a,x}^2+v_{a,y}^2=45000+\bigl(45000-30000\sqrt{2}+10000\bigr)=100000-30000\sqrt{2}.
Portanto
\|v_a\|=\sqrt{100000-30000\sqrt{2}}.

Passo 6

Agora avaliamos numericamente. Usando \sqrt{2}\approx1,41421356 temos
100000-30000\sqrt{2}\approx100000-30000\cdot1,41421356\approx100000-42426,4069\approx57573,5931.
A raiz quadrada dá
\|v_a\|\approx\sqrt{57573,5931}\approx239{,}8\\ \mathrm{km/h}.
Arredondando de forma convencional, o módulo da velocidade do avião em relação ao vento é aproximadamente 240\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova: a equação vetorial v_g=v_a+v_w é a chave — sempre decomponha em componentes perpendiculares (aqui leste e norte). Atenção ao sentido do vento (se o enunciado especificar “para o sul” usar sinal negativo na componente norte). Fazer as contas com \sqrt{2} mantido até o final evita erros de arredondamento precoce.

Resposta

239{,}8\\ \mathrm{km/h}

Exercícios relacionados