(10 pts) O piloto de um avião quer fazer o percurso da cidade
à cidade
em 2 horas. Ele sabe que
se situa 600 km a nordeste de
. Sopra um vento à velocidade de
na direção norte-sul. Obtenha o módulo da velocidade do avião em relação ao vento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Distância de
a : . - A direção de
em relação a : nordeste (isto é, exatamente a entre norte e leste). - Tempo desejado de percurso:
. - Vento: velocidade
na direção norte–sul. Vou assumir explicitamente que o vento sopra no sentido norte (ou seja, tem componente positiva na direção norte). Se o enunciado quisesse o sentido oposto, o cálculo muda de sinal na componente norte — aqui sigo esta convenção para resolver o problema sem pedir mais informações. - O que se pede: o módulo da velocidade do avião em relação ao vento (isto é, a velocidade do avião em relação ao ar, também chamada de velocidade no ar ou airspeed).
Passo 2
Vamos primeiro achar a velocidade do avião em relação ao solo (velocidade do trajeto desejado), que é simplesmente deslocamento dividido por tempo.
A distância é
em
, portanto a velocidade do avião em relação ao solo deve ter módulo
Como
fica a nordeste, essa velocidade tem direção a
entre leste e norte. Para trabalhar com vetores, decompomos essa velocidade nas componentes leste (x) e norte (y).
A componente leste é
a componente norte é
Como
, cada componente vale
Passo 3
Agora a ideia física: velocidade em relação ao solo (
) é a soma vectorial da velocidade do avião em relação ao ar (
) com a velocidade do vento (
):
Queremos
, então reescrevemos
Isto significa que subtraímos componente a componente o vetor vento do vetor velocidade desejada no solo.
Passo 4
Expressamos os vetores em componentes (leste =
, norte =
).
Do passo anterior temos
Pelo que assumimos, o vento tem magnitude
para norte, logo
Aplicando
obtemos as componentes da velocidade do avião em relação ao ar:
Passo 5
Agora calculamos o módulo (a norma) do vetor
usando o Teorema de Pitágoras: o módulo é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Substituindo as componentes:
Vamos desenvolver algebraicamente para entender os números:
Somando os dois termos:
Portanto
Passo 6
Agora avaliamos numericamente. Usando
temos
A raiz quadrada dá
Arredondando de forma convencional, o módulo da velocidade do avião em relação ao vento é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação rápida e dica para prova: a equação vetorial
é a chave — sempre decomponha em componentes perpendiculares (aqui leste e norte). Atenção ao sentido do vento (se o enunciado especificar “para o sul” usar sinal negativo na componente norte). Fazer as contas com
mantido até o final evita erros de arredondamento precoce.